Algebraische Vielfachheit

Question

Aufgabe:

Ich soll die allegemein Vielfachheit der Matrix berechnen:

$$A = \left( \begin{array} { c c c c } { 1 } & { 2 } & { 0 } & { 4 } \\ { 0 } & { 2 } & { 3 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 3 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 3 } \end{array} \right)$$

Problem/Ansatz:

Ich bekomme zwar das charakterisitische Polynom zur Berechnung der Eigenwerte, nur sind bei mir die Lamdas mit den reellen Zahlen vertauscht :

$$\chi _ { A } ( \lambda ) = ( \lambda - 1 ) ( \lambda - 2 ) ( \lambda - 3 ) ^ { 2 }$$

soll herauskommen.

Ich habe :

χA(λ) = (1-λ)(2-λ)(3-λ)^2

Man muss doch bei der Eigenwertberechnung die Diagonaleinträge - λ berechnen und nicht umgekehrt oder irre ich mich da?

Answer 1

Man muss doch bei der Eigenwertberechnung die Diagonaleinträge - λ berechnen -- ->JA

Warum das in der Lösung so steht ,kann ich Dir nicht sagen.

Ich habe erhalten:

(1-λ)(2-λ)( 3-λ)^2=0

Comments

$$ (1 - \lambda) = (-1)\cdot (\lambda - 1) $$$$ (2 - \lambda) = (-1)\cdot (\lambda - 2) $$$$ (3 - \lambda)^2 = ((-1)\cdot (\lambda - 3))^2 = (\lambda - 3)^2 $$Also$$ (1 - \lambda)(2 - \lambda)(3 - \lambda)^2 \\= (-1)\cdot (\lambda - 1) \cdot (-1)\cdot (\lambda - 2) \cdot (\lambda - 3)^2 \\ = (\lambda - 1)\cdot (\lambda - 2) \cdot (\lambda - 3)^2$$

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Ich verstehe halt nicht, weshalb man so etwas machen sollte.

Laut Musterlösung soll man es halt machen ?!

Läuft auf die gleichen Eigenwerte hinaus, ist mir jedoch ein Rätsel, weshalb es so gemacht wird.

Seht ihr irgendeinen Sinn dahinter ?

Wo verschwinden bei dir die -1 en hin ?

"(−1)⋅(λ−1)⋅(−1)⋅(λ−2)⋅(λ−3)^2"

Bzw. müsste es nicht sein? : "(−1)⋅(λ−1)⋅(−1)⋅(λ−2)⋅(-1)⋅(λ−3)^2"

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@Wurst21:

Meiner Meinung kannst Du , wie ich es habe,so stehen lassen, es besteht kein Grund das anders  zu schreiben.

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Ich verstehe halt nicht, weshalb man so etwas machen sollte.

Ist Geschmacksache, die Nullstellen sind ja bei beiden Polynomen die gleichen, oder?

Laut Musterlösung soll man es halt machen ?!

Die Musterlösung ist nicht immer der einzig richtige Weg.

Wo verschwinden bei dir die -1 en hin ?

"(−1)⋅(λ−1)⋅(−1)⋅(λ−2)⋅(λ−3)^2"

(-1)*(-1)=1

Dein weiter Vorschlag ist falsch, das Minus der dritten Klammer hebt sich durch das Quadrat auf.

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Ich vermute du hast

$$ \det(A-\lambda E_n) $$

berechnet und der Ersteller der Musterlösung vermutlich

$$ \det(\lambda E_n - A) $$

beides ist vollkommen in Ordnung da sich die Polynome danach nur um (-1)^n unterscheiden (in diesem Fall sind sie sogar gleich, denn (-1)^4=1) und somit die gleichen Nullstellen besitzen. Und dich interessieren ja nur die Nullstellen.