Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolge

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktionenfolge $$f _ { n } : \mathbb { R } \rightarrow \mathbb { R } , x \mapsto f _ { n } ( x ) = \sin \left( \frac { x } { n } \right) ; n \in \mathbb { N }$$

(a) Zeige, dass diese Folge auf den reellen Zahlen nicht gleichmäßig konvergiert.

(b) Zeige, dass diese Folge auf dem Intervall L=[0,1] gleichmäßig konvergiert.

Problem/Ansatz:

Die Definition von gleichmäßger Konvergenz ist ja: ∀ ε>0 ∃N: n>N ∀x: |f_n(x)-f(x)|<ε. Und f_n(x) konvergiert punktweise gegen f(x)=0.

Mein Vorschlag zu (b): Sei ε>0, dann wähle N>(1/arcsin(ε)), so dass ∀n>N und ∀x gilt:
|sin(x/n)-0| ≤ |sin(1/n)| ≤ |sin(1/N)| < ε

Stimmt das so?

Bei Aufgabe (a) bräuchte ich bitte Hilfe.

Danke schonmal ;)

Answer 1

b) ist richtig.

Bei a) ist es ja auch so, dass f_n punktweise gegen f(x)=0 konvergiert.

Aber es gibt z.B. für ε=0,5 kein N so dass für alle n>N

gilt     |fn(x)-f(x)|<ε für alle x.

Denn  |fn(x)-f(x)|<ε

heißt ja  |fn(x)|<ε

bzw.   |sin(x/n)| <ε.

Egal wie groß das N ist, es gibt jedenfalls immer

ein x∈ℝ , das gleich (N+1)*0,5pi ist.

Für dieses x gilt   f_N+1(x)= sin(  (N+1)*0,5pi  / (N+1) ) = sin(0,5pi) = 1

Also gilt nicht für alle n>N ( denn N+1 ist ja > N )    |fn(x)|<ε.

Also ist die Funktionenfolge auf ℝ nicht gleichmäßig konvergent.

Comments

Alles klar, danke für die schnelle Antwort :)