Grenzwert von Funktion berechnen

Question

Aufgabe:

$$\lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { \ln ( \ln x ) } { \sqrt { \ln ( x ) } }$$

Problem/Ansatz:

Hab leider keine Idee, wie man das lösen soll. Ich habs mit L'Hospital probiert, aber das führt hier zu nichts.

Answer 1

Du kannst ja substituieren:  Für x gegen unendlich geht ln(x) auch gegen nunendlich.

Du kannst also betrachten den Grenzwert für z gegen unendlich von

ln(z) /  √z

hier jetzt mit Hospital

(1/z)  /    (1 / (2√z))

= 2 / √z

Und das geht für z gegen unendlich gegen 0, also

ist dein Grenzwert auch 0.

Comments

Danke für die Antwort. :)

Answer 2

Hallo

 L'Hopital führt zum Erfolg, zeig mal, was du gemacht hast.

bei mir bleibt 2/√(ln(x)) was gegen 0 geht.

Gruß lul

Comments

Danke, hab einfach nicht gesehen, wie es nach dem Ableiten des Zählers und Nenners weitergeht. Aber ist mir jetzt klar.

Answer 3

$$\lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { \ln ( \ln x ) } { \sqrt { \ln ( x ) } }$$

Das ergibt eine \(\frac{\infty}{\infty}\) Situation, weshalb man die Regel von L'Hospital anwenden kann, also Nenner und Zähler ableiten.

$$\lim _ { x \rightarrow \infty }\frac{\frac{1}{\ln(x)}\cdot\frac{1}{x}}{\frac{1}{2\sqrt{\ln(x)}}\cdot\frac{1}{x}}\\=\lim _ { x \rightarrow \infty }\frac{2\sqrt{\ln(x)}\cdot x}{\ln(x)\cdot x}\\=\lim _ { x \rightarrow \infty }\frac{2\sqrt{\ln(x)}}{\ln(x)}$$

Jetzt nochmal die Regel anwenden:

$$=\lim _ { x \rightarrow \infty }\frac{\frac{1}{\sqrt{\ln(x)}\cdot x}}{\frac{1}{x}}\\=\lim _ { x \rightarrow \infty }\frac{x}{\sqrt{\ln(x)}\cdot x}\\=\lim _ { x \rightarrow \infty }\frac{1}{\sqrt{\ln(x)}}=0$$

\(0\), da man die Situation \(\frac{1}{\infty}\) hat.

Gruß

Smitty