x bestimmen, so dass Matrix keinen, einen, zwei verschiedene Eigenwerte hat?

Question

Aufgabe:

Für welche Werte von x ∈ ℝ hat die Matrix keinen, einen, zwei verschiedene Eigenwerte?

 A = (12 0

         0   x)  für x  ∈ ℝ.

Problem/Ansatz:

Habe mit vielen verschiedene Zahlen probiert und komme nur auf zwei verschiedene Eigenwerte :(.. kann mir jemand helfen bei weitersuchen?? VG

Answer 1

Du hast die Matrix \(A=\begin{pmatrix} 12 & 0 \\ 0 & x \end{pmatrix}\). Bilde das Charakteristische Polynom \(\chi_A(\lambda)=\det(\lambda E-A)\)

$$\chi_A(\lambda)=\begin{vmatrix} \lambda-12 & 0 \\ 0 & \lambda-x \end{vmatrix}=(\lambda-12)(\lambda-x)$$ Daraus folgt die Diskriminante \(\Delta_{\lambda}=(12-x)^2\)

Wann ist \(\Delta_{\lambda}=0\)? Wann ist sie \(>0\) und wann \(<0\)?

Comments

Danke für Ihre Antwort! Ich verstehe die Aufgabestellung aber ich finde keine Lösungen für keinen und einen Eigenwerte.. :(

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Wenn \(\Delta_{\lambda}=0\), so gibt es lediglich eine Lösung:$$(12-x)^2=0 \quad |\sqrt{}$$$$12-x=0$$$$x=12$$ Es gibt also für \(x=12\) eine Lösung.

Keine Lösung gibt es, wenn \(\Delta_{\lambda}<0\). $$(x-12)^2<0$$ Es ist, aufgrund des Quadrats nicht möglich, dass \(\Delta_{\lambda}<0\) kleiner als 0 wird, somit kann es nicht keine Lösung geben.

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Daraus folgt die Determinante \(\Delta_{\lambda}=(12-x)^2\)

Was soll das sein?

(λ-12) · (x-λ) = 0 ergibt für x≠12  zwei verschiedene Eigenwerte

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Sorry, das sollte Diskriminante heißen!

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racine_caree, warum ziehst du denn oben 12 von λ ab. Normalerweise macht man doch (12 - λ) in der Diagonalen und nich' umgekehrt.

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@Marceline

Ob du jetzt \(\det(\lambda E-A)\) oder  \(\det(A-\lambda E)\) berechnest, ist nicht wichtig. Mit \(\det(A-\lambda E)\) kommt man auf:$$\chi_A(\lambda)=\begin{vmatrix} 12-\lambda & 0 \\ 0 & x-\lambda \end{vmatrix}=(12-\lambda)\cdot (x-\lambda)$$ Die Lösungen bleiben gleich.

Answer 2

charakteristisches Polynom:

  det   ⎡ 12 - λ        0  ⎤    =   (12-λ) · (x-λ)  =  λ² + (-x-12) ·λ  + 12  =  0
          ⎣    0        x - λ ⎦

pq-Formel mit p = -x-12  und q = 12x    →   λ₁ = 12  ,  λ₂ = x

Das sind zwei Eigenwerte für  x ≠ 12  bzw. ein Eigenwert für  x = 12

Gruß Wolfgang

Comments

Warum pq-Formel?

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Gute Frage.

Da hat wohl zu später Stunde die Macht der Gewohnheit zugeschlagen!

Die Eigenwerte ergeben sich natürlich aus  (12-λ) · (x-λ) = 0 direkt.

Aber quadratische Gleichungen mit Parametern kann man ja nie genug üben :-)

Answer 3

"kein Eigenwert" ist schon mal ausgeschlossen, denn
A*(1|0) = (12|0)  = 12*(1|0)
somit ist 12 auf jeden Fall ein Eigenwert.
Da A*(0|1) = (0|x) = x*(0|1)
ist auch x ein Eigenwert.
Wenn x = 12, ist dieser Eigenwert doppelt und es gibt nur einen Eigenwert.
Wenn x≠12, hat die Matrix A zwei verschiedene Eigenwerte.

Comments

Chefkoch, was meinst du mit A * (1|0), (12|0) usw..  1 teilt die 0?

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Matrix A wird mit Vektor multipliziert. Es resultiert ein Vektor.

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Aber b'rum denn (bayrisch für: "warum denn") (1|0). Wird die Matrix 1 dann mit dem Vektor 0 multipliziert oder was soll diese Notation bedeuten?