Flüssigkeit Temperatur berechnen

Question

Aufgabe:

Eine Flüssigkeit kühlt ab. Die Außentemperatur ist kleiner, als der Flüssigkeit. Die Raumtemperatur beträgt 25 Grad Celsius.

Die Funktionsgleichung lautet:

T(t) = 25+55*e^(-0,0276*t)

Ermittelt werden soll nun die Zeit, zu der der Unterschied zwischen Getränk- und Raumtemperatur halbiert wird. Wäre es dann T(t)=27,5 (80-25=55 ; 55/2=27,5)

Und dann soll ermittelt werden, dass

T’(t) = a - (25 - T(t)) gilt. Wie soll man hier a bestimmen? Und welche Bedeutung hatte lim t->unendlich T(t)?

Comments

Die Funktionsgleichung lautet:

T(t) = 25+55*e^(-0,0276*t)

Und was gibt diese Funktion an? Da heißt, was bedeutet T(t) im Sachzusammenhang?

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Soll T(0) die Getränketemperatur darstellen?

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T(0) ist die Anfangstemperatur der Flüssigkeit.

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Mit T(t) wird die Temperatur der Flüssigkeit gemessen! :)

Ist das so richtig?

"Ermittelt werden soll nun die Zeit, zu der der Unterschied zwischen Getränk- und Raumtemperatur halbiert wird. Wäre es dann T(t)=27,5 (80-25=55 ; 55/2=27,5)"

und was bedeutet dies:

"T’(t) = a - (25 - T(t)) gilt. Wie soll man hier a bestimmen? Und welche Bedeutung hatte lim t->unendlich T(t)?"

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Mit T(t) wird die Temperatur der Flüssigkeit gemessen! :)

Genau das ist die Sache, auf die du im Umgang mit Funktionen im Sachzusammenhang achten musst. Aus diesem Zusammenhang ergeben sich fast unmittelbar die Gleichungen, die du aufstellen musst.

Answer 1

T(0)= 80

halbiert  T(t) = 40 gibt  t=47,076

Es ist  T ' (t) = -15,18*e^(-0,0276*t)

vergleiche das mit  a - (25 - T(t)) !

Comments

Ermittelt werden soll nun die Zeit, zu der der Unterschied zwischen Getränk- und Raumtemperatur halbiert wird!! Das kann somit also nicht 40 sein! 

Answer 2

Mit T(t) wird die Temperatur der Flüssigkeit gemessen! :)

Dann ist T(t) - 25 der Unterschied zwischen Getränk- und Raumtemperatur.

Ermittelt werden soll nun die Zeit, zu der der Unterschied zwischen Getränk- und Raumtemperatur halbiert wird.

Ermittelt werden soll also der Zeitpunkt t, zu dem

        1/2·(T(0) - 25) = T(t) - 25

ist. Einsetzen des Funktionsterms liefert

        1/2·(25+55·e^-0,0276·0 - 25) = 25+55·e^-0,0276·t - 25.

Löse diese Gleichung.

Zur Kontrolle: t = 25.11402828115743

dass T’(t) = a - (25 - T(t)) gilt. Wie soll man hier a bestimmen?

Bestimme die Ableitung von T und forme um.

Und welche Bedeutung hatte lim t->unendlich T(t)?

Das ist die Temperatur, der sich das Gatränk beliebig genau annähert. Nach meinem physikalischen Verständnis sollte das die Raumtemperatur sein, weil eine Temperaturanpassung so lange erfolgt, bis Raum und Getränk die gleiche Temperatur haben.

Comments

Vielen, lieben Dank für die Hilfe! :)

Für die Aufgabe "dass T’(t) = a - (25 - T(t)) gilt. Wie soll man hier a bestimmen?" habe ich für die Ableitung T'(t)=-1,518*e^(-0,276*t). Wie sollte ich dies nun umformen? Mit a - (25 - T(t)) gleichsetzen? 

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T’(t) = a - (25 - T(t))

Löse die Gleichung nach a auf. Dann bekommst du

        a = T’(t) + 25 - T(t).

Einsetzen von T’(t) und T(t) liefert

        a = -56,518·e^-0,0276·t.

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Vielen Dank! :)

Ist a=-56,518 somit die Konstante für T'(t)=a - (25-T(t))?

Danke :9

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Der Wert für a steht in meinem vorhergehenden Kommentar unmittelbar rechts von "a = " (zur Erinnerung, dort steht -56,518·e^-0,0276·t).

Da dieser Wert nicht konstant ist, sondern von t abhängt, würde ich a nicht als Konstante bezeichnen. Wenn nach einer Konstante gefragt ist, dann lautet die korrekte Antwort "Eine solche Konstante existiert nicht".