Temperatur ϑ(t) = 63 • e-0,07t + 19 mit LIM

Question

ich hab eine Problem und zwar .. ich weiß, dass ich hier lim brauche, aber wie soll ich dann Ergebnis ohne h kriegen oder gibt es ein anderen weg? Kann mir jemand helfen und erklären? Wäre so lieb, danke :-)

Die Temperatur ϑ in (°C) einer Tasse Kaffee wird durch den Term ϑ(t) = 63 • e^-0,07t + 19 beschrieben. Dabei ist t die Zeit nach dem Einschenken in Minuten.

a) Welche Temperatur hatte der Kaffee beim Einschenken bzw. nach drei Minuten? Welche Temperatur wird er haben wenn man ihn lange stehen lässt?

ϑ(t) = 63 • e^-0,07t + 19
ϑ(0) = 63 • e^-0,07•0 + 19 = 82
ϑ(3) = 63 • e^-0,07•3 + 19 = 70,07

b) Um wie viel nimmt die Temperatur in der dritten bzw. der zehnten Minute ab?

 

c) Berechnen Sie die momentane Änderungsrate am Ende der dritten und der zehnten Minute.

Comments

hi

ohne h? meinst du vielleicht ohne t?

bei c) vermute ich mal, dass du die erste ableitung bilden und dann für t=3 bzw. t=10 einsetzen sollst und schwupp ist das t weg.

lg

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Aber ich muss momentane Änderungsratee rechnen und da brauche ich lim, nicht die erste Ableitung. Aber wie kann ich dann mit der Aufgabe b und c lösen?

Du kennst doch das Formel von lim? da steht auch : h. Also damit meinte ich wie ich das Zahl einsetzen kann, da es gar nichts steht.

Answer 1

zu a) Hier hast du alles richtig berechnet.

Es fehlt allerdings noch die Angabe der "Endtemperatur", also der Temperatur, die der Kaffee annimmt, wenn man ihn sehr lange stehenlässt. Es erscheint logisch, dass er sich der Umgebungstemperatur anpasst (vorliegend 19 °) . Mathematisch lässt sich das durch den Ausdruck:

lim _t->∞ ϑ(t) = lim _t->∞ 63 * e^{- 0,07 t} + 19

beschreiben. Für t -> ∞ geht der Ausdruck - 0,07 t gegen minus unendlich und der Ausdruck e ^{- 0,07 t} daher gegen 0. Folglich gilt:

lim _t->∞ 63 * e^{- 0,07 t} + 19 = 0 + 19 = 19

 

zu b) Hier musst du f ( 2 ) - f ( 3 ) bzw. f ( 9 ) - f ( 10 ) bestimmen. Diese Differenz ist jeweils gleich dem Temperaturunterschied zwischen dem Ende der zweiten und dem Ende der dritten Minute bzw. dem Ende der neunten und dem Ende der zehnten Minute und beschreibt daher die Temperaturabnahme während der dritten bzw. der zehnten Minute. 

 

zu c) Der von dir gewünschte Weg über den Grenzwert ("lim") ist gleichwertig mit der Bestimmung der ersten Ableitung, denn die erste Ableitung f ' ( x )  einer Funktion f ( x ) ist definiert als

f ' ( x ) = lim _{h -> 0} ( f ( x + h ) - f ( x ) ) / h

Du kannst also versuchen, f ' ( t ) = ( 63 * e^{- 0,07 t} + 19 ) ' anhand dieser Definition, also durch diese Grenzwertbildung zu bestimmen. Das ist etwas knifflig, weil man, wie du bereits festgestellt hast, das h schlecht los wird.

Wenn es aber nicht ausdrücklich vorgeschrieben ist, die Aufgabe mit dieser Grenzwertbestimmung zu lösen, dann solltest du die erste Ableitung besser mit den bekannten Ableitungsregeln (vorliegend insbesondere mit der Kettenregel) bestimmen:

 f ( t ) = 63 * e^{- 0,07 t} + 19

=> f ' ( t ) = - 0,07 * 63 * e ^{- 0,07 t}  = - 4,41 * e ^{- 0,07 t}

Durch Einsetzen von t = 3 bzw. t = 10 in f ' ( t ) erhält man dann die gewünschten Ergebnisse:

f ' ( 3 ) = - 3,575 (gerundet)

f ' ( 10 ) = - 2,19 (gerundet)

Comments

danke .. aber es funktioniert bei mir leider bei der Aufgabe c) nicht ..

Meine Lehrerin meinte, dass ich Tabelle machen sollte mit 1 / 0,1 / 0,01 / 0,001 und so weiter ..

Aber leider steht meine Taschenrechner, dass das Ergebnis bei 3 mit der Tabelle 0,01 = 84,08 ..

Das kann eigentlich nicht sein .. Habe ich falsch vertippt da Taschenrechner?

Ich habe Taschenrechner eingegeben: -4,41e^-0,07*3 *  -4,41e^0,01 – 1 : 0,01

Hilf mir bitte mit guten Rechenweg, ich brauch das bis heute Abend, damit ich lernen kann ..

Danke !!

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Wenn ich das richtig verstehe, hast du die Ableitung von f ( x ) verwendet, also

f ' ( t ) =   - 4,41 * e ^{- 0,07 t}

und mit dieser dann den Differenzenquotienten

( f ' ( t + h ) - f ' ( t ) ) / h

= ( - 4,41 * e ^{- 0,07 ( t + h )} - (- 4,41 * e ^{- 0,07 t} ) / h

berechnet. Damit aber berechnest du den Wert der Ableitung der Ableitung von f, also der zweiten Ableitung von f.

Du willst aber den Wert der ersten Ableitung bestimmen. Dann aber musst du im Differenzenquotienten die ursprüngliche Funktion

f ( t ) = 63 * e^{- 0,07 t} + 19

verwenden.

Damit erhältst du an der Stelle t = 3

f ' ( 3 ) = lim _{h -> 0} ( f ( ( 3 + h ) - f ( 3 ) ) / h

= lim _{h -> 0} ( 63 * e^{- 0,07 * ( 3 + h )} + 19 ) - ( 63 * e^{- 0,07 * 3} + 19 ) / h

= lim _{h -> 0} ( 63 * e^{- 0,07 * ( 3 + h )} - 63 * e^{- 0,07 * 3} ) / h

= lim _{h -> 0} ( 63 * e^{- 0,07 * 3} * e^{- 0,07 h} - 63 * e^{- 0,07 * 3} ) / h

= lim _{h -> 0} ( 63 * e^{- 0,07 * 3}  * ( e^{- 0,07 h} - 1  ) ) / h

 

Den Ausdruck

( 63 * e^{- 0,07 * 3} * ( e^{- 0,07 h} - 1  ) ) / h

verwendest du nun für deine Tabelle, in der du h immer weiter gegen Null gehen lässt (h = 0,1 ; h = 0,01 ; h = 0,001 usw. Schon bald wirst du feststellen, dass sich die Ergebniswerte kaum noch verändern.

Für h = 0,1 ergibt sich z.B.

( 63 * e^{- 0,07 * 3} * ( e^{- 0,07 * 0,1} - 1  ) ) / 0,1 = -3,562194...

Für h = 0,01 und t = 3 ergibt sich:

( 63 * e^{- 0,07 * 3} * ( e^{- 0,07 * 0,01} - 1  ) ) / 0,01 = -3,573425...

 

Nun rechne die Werte für noch kleinere h selber aus. Wenn sich das Ergebnis kaum noch verändert hast du eine gute Näherung für f ' ( 3 ) gefunden.

Dasselbe kannst du dann auch noch für t = 10 machen.

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Alles klar danke .. Ich wundere mich jetzt nur, wieso das Zahl 63 nicht mehr gibt?

Siehe rot Markiert da ist ohne 63, also wieso?

lim h -> 0 ( 63 * e^{- 0,07 * 3}  * ( 63 * e^{- 0,07 h} - 1  ) ) / h

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Nun, Potenzieren geht vor Multiplizieren, daher ist 

63 * e ^{( x + y )} = 63 * ( e ^{( x + y )} ) = 63 * ( e ^x * e ^y ) =  63 * e ^x * e ^y

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Alles klar jetzt verstehe ich ganz und ich danke dir für das gute Hilfe für mich. Nun muss ich jetzt merken, dass bei lim ohne Ableitung gerechnet wird. Schönen Abend noch.