Samuraischwert. Temperatur folgt der Formel T(t)= 1200 - 800 * e^{-0,01t}. eFunktion mit Temperaturrechnungen

Question

Ein Schmied fertigt ein Samuraischwert. Er erhitzt es über dem Feuer. Die Temperatur folgt der Formel T(t)= 1200 - 800 * e^{-0,01t} (t:sekunden ; T(t): °C)

a) Wie groß ist die mittlere Temperaturerhöhung in der ersten Minute?

b) Das Schmiedstück soll mindestens 1000°C heiß sein, um weiterbehandelt werden zu können. Wie lange muss der Schmied warten?

c) Welche Grenztemperatur muss erreicht das Schmiedstück bei langfristiger Erhitzung?

d) Die Temperatur soll stets mindestens um 1°C/s steigen. Wie lange darf der Erhitzungsprozess maximal dauern?

Bitte bitte eine Lösung mit Rechenweg, weil ich knobel da schon eine dreiviertelstunde dran und bin am verzweifeln. Einen Weg bräuchte ich weil ich mich auf eine Klausur vorbereite und damit ich das verstehen kann bräuchte ich einen Rechenweg.

Schonmal vielen dank :)

Answer 1

  T ( t ) = 1200 - 800 * e^-0,01t    ( t in :sekunden ; T(t): °C)

a) Wie groß ist die mittlere Temperaturerhöhung in der ersten Minute?

  T ( 0 ) = 1200 - 800 * e^{-0,01 * 0} = 400
  T ( 60 ) = 1200 - 800 * e^{-0,01 * 60} = 1200 - 800 * 0.55 = 761 °

  Die Temperaturerhöhung in der 1.Minute beträgt 361 °

  b) Das Schmiedstück soll mindestens 1000°C heiß sein, um weiterbehandelt werden zu können. Wie lange muss der Schmied warten?

  T ( t ) = 1200 - 800 * e^-0,01t     = 1000
  e^-0,01t     = ( 1000 -1200 ) / (-800 )
  e^-0,01t     = 0.25
  -0.01 * t = ln(0.25) = -1.386
  t  = 138.6 sec

  c) Welche Grenztemperatur muss erreicht das Schmiedstück bei langfristiger Erhitzung?

  lim t -> ∞ e hoch minus unendlich = 0 : 1200 - 800 * 0 = 1200 °

  d) Die Temperatur soll stets mindestens um 1°C/s steigen. Wie lange darf der Erhitzungsprozess maximal dauern?

  T ´ ( t ) = -800 * e^-0,01t  * ( -0.01 )
  T ´( t ) = 8 * e^-0,01t   > 1
  e^-0,01t   > 1 / 8
  -0.01 * t > -2.08
  t < 208 sec

  mfg Georg

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Comments

Ich habe eine Frage zur c...

Das was sie ausgerechnet haben ist doch nicht der mittlere Temperaturanstieg oder?

Ich habe gelesen das man dies mit dem Differenzenquotienten ausrechnen muss...

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Vorbemerlung : hier im Forum wird meist das " du " verwendet.

Ich habe eine Frage zur c...
Das was sie ausgerechnet haben ist doch nicht der
mittlere Temperaturanstieg oder?
c) Welche Grenztemperatur erreicht das Schmiedstück
bei langfristiger Erhitzung?
Das Werkstück erreicht die Temperatur des Feuers.

Deine Nachfrage passt aber nicht zur Frage c.)
Also, was willst du genau wissen ?
Oder meinst du d.) ?

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Hallo ich weiß es ist lange her, aber vielleicht kannst du mir die Frage beantworten, wieso man bei Aufgabe d) dann mal-0.01 rechnen muss

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Das kommt durch die Ableitung der e Funktion. Da im exponenten nicht nur e steht sondern -0,01*e, muss hier mit der Kettenregel abgeleitet werden. Dafür bildet man die Ableitung der inneren Funktion. Und die ist -0,01.

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( e^term ) ´ = e^term * term´

[ e^(-0,01*t) ] ´  = e^(-0,01*t) *( -0.01 )