Wachstumsfunktion e Funktion Temperatur

Question

Durch falsches Mischen wird zu heißes Wasser in die Badewanne eingelassen.

Die Abkühlung des badewassers in abhängigkeit von der Zeit kann annähernd durch folgende Funktionsgleichung beschrieben werden:

T(t)= 25+35e^{-0,0673*t}

4.1 Legen Sie eine Wertetabelle an für t= 0, 2, 6, 10 , 20, 30, 40, 50 Minuten und zeichnen sie den Funktionsgraphen.

4.2 Mit welcher Temperatur läuft das Wasser aus dem Wasserhahn?

4.3 Wie lange dauert es, bis man bei einer angenehmen Wassertemperatur von 38 °C baden kann?

4.4 Nach welcher Zeit hätte das Badewasser Raumtemperatur erreicht, wenn die Abkühlung ab der 2. Minute linear verlaufen würde?

4.5 Wann betrug die Temperaturabnahme 1°C pro Minute?

4.6 Zu welchem Zeitpunkt kühlt das Wasser am schnellsten ab und wie groß ist dann die Abkühlungsgeschwindikeit?

4.7 Nach wie vielen Minuten liegt nur noch ein Viertel der anfänglichen Abkühlungsgeschwindigkeit vor?

Answer 1

4.1)

T ( t ) = 25 + 35 * e ^{- 0,0673 * t}

t  |  T ( t )  = 25 + 35 * e ^{- 0,0673 * t}
--------------------------------------------
0 | 60
2 | 55,5
6 | 48,4
10 | 42,9
20 | 34,1
30 | 29,6
40 | 27,4
50 | 26,2

Ich nehme an, dass der Graph nicht geeicht, sondern gezeichnet werden soll .. :-) So sieht er aus:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=25%2B35*e^%28-+0.0673*t%29from-3to55

 

4.2) Die Temperatur des zulaufenden Wassers erhält man, indem man annimmt, man ließe das Wasser unendlich lange zulaufen. Dann nämlich muss die Mischtemperatur, die durch die Funktion T ( t ) ausgedrückt wird, gegen die Temperatur des zulaufenden Wassers gehen, denn dann besteht die Wassermischung aus unendlich viel von dem zugelaufenen Wasser und nur endlich viel von dem ursprünglichen Wasser. Dieses hat dann keinen Einfluss mehr auf die Mischtemperatur. 

Unendlich lange Wasser zufließen zu lassen bedeutet, dass man die Zeit t gegen unendlich gehen lässt. Dann aber geht das Produkt

35 * e ^{- 0,0673 * t}

gegen Null und es gilt:

lim_{t -> ∞} T ( t ) = lim_{t -> ∞}25 + 35 * e ^{- 0,0673 * t} = 25

Also: Die Temperatur des zulaufenden Wassers beträgt 25 C °.

 

4.3) Nun, da muss man den Zeitpunkt t bestimmen, zu dem gilt:

T ( t ) = 38

<=> 25 + 35 * e ^{- 0,0673 * t} = 38

<=> 35 * e ^{- 0,0673 * t} = 13

<=> e ^{- 0,0673 * t} = 13 / 35

Hier nun wieder den natürlichen Logarithmus anwenden:

<=>ln (  e ^{- 0,0673 * t} ) = ln ( 13 / 35 )

<=> - 0,0673 * t = ln ( 13 / 35 )

<=> t = ln ( 13 / 35 ) / - 0,0673 = 14,7 (gerundet).

Die angenehme Badetemperatur von 38 C° wird also nach etwa 14,7 Minuten erreicht.

 

4.4) "Ab der zweiten Minute linear verläuft" bedeutet, dass die Abkühlungsrate ab der zweiten Minute konstant gleich der Abkühlungsrate nach der ersten Minute entspricht. Die Abkühlungsrate nach der ersten Minute ist gleich der Steigung m von T ( t ) an der Stelle t = 1 . Diesen Wert erhält man als Ergebnis der Ableitung T ' ( t ) an dieser Stelle, also:

T ' ( t ) = 35 * ( - 0,0673 ) * e ^{- 0,0673 * t}

und daher:

m = T ' ( 1 ) = 35 * ( - 0,0673 ) * e ^{- 0,0673 * 1} = - 2,20 (gerundet)

Dieser Wert ist gleich der Steigung der Tangenten an den Graphen von T ( t ) an der Stelle t = 1 . Stell man die Geradengleichung für diese Tangente auf, dann kann man daraus berechnen, an welcher Stelle t diese Gerade den Wert der Raumtemperatur erreicht (dieser Wert ist mir unbekannt, ich nehme ihn als 20 C° an).

Die Geradengleichung der Tangente findet man, indem man die berechnete Steigung m und
den Punkt ( 1 | T ( t ) ) = ( 1 | 57,72 ), durch den die Tangente ja verlaufen muss,  in die allgemeine Geradengleichung

g ( t ) = m t + b

einsetzt und daraus den y - Achsenabschnitt b der Tangente berechnet:

57,72 = - 2,2 * 1  + b

<=> b = 57,72 + 2,2 = 59,92

Somit lautet die Gleichung der Tangente an den Graphen von T ( t ) an der Stelle t = 1 :

g ( t ) = - 2,2 t + 59,92

Diese Gerade beschreibt die lineare Abkühlung ab der zweiten Minute. Sie hat den Wert 20 C° , wenn gilt: 

g ( t ) = 20

<=> - 2,2 t + 59,92 = 20

<=> 2,2 t = 39,92

<=> t = 39,92 /  2,2 = 18,15 (gerundet)

Also: Wenn die Abkühlung ab der zweiten Minute linear verläuft, dann erreicht dias Badewasser die Temperatur von 20 C° nach etwa 18 Minuten.

 

4.5) Die Abkühlungsrate beträgt 1 C° zu demjenigen Zeitpunkt t, zu dem die Ableitung T ' ( t ) den Wert -1 hat. Also:

T ' ( t ) = - 1

<=> 35 * ( - 0,0673 ) * e ^{- 0,0673 * t} = - 1

<=> e ^{- 0,0673 * t} = - 1 / ( 35 * ( - 0,0673 ) )

<=> ln ( e ^{- 0,0673 * t} ) = ln ( - 1 / ( 35 * ( - 0,0673 ) ) )

<=> - 0,0673 * t = ln ( 1 / ( 35 * 0,0673  ) )

<=> t = ln ( 1 / ( 35 *  0,0673 ) ) / ( - 0,0673 ) = 12,73 (gerundet)

Also: Nach etwa 12,7 Minuten beträgt  die Abkühlungsgeschwindigkeit 1 C° / Minute.

 

4.6) Das Wasser kühlt zu demjenigen Zeitpunkt am schnellsten ab, zu  dem die Abkühlungsfunktion T ( t ) die größte negative Steigung, ihre Ableitung T ' ( t )  also ein Minimum hat.  Das ist höchstens dort der Fall wo die zweite Ableitung T ' ' ( t ) eine Nullstelle hat (lokales Minimum) oder an den Randstellen des
betrachteten Zeitintervalls [ 0 , ∞ ]
Also:

T ' ' ( t ) = [ 35 * ( - 0,0673 ) * e ^{- 0,0673 * t} ] '

= 35 * ( - 0,0673 ) * ( - 0,0673 ) e ^{- 0,0673 * t}

= 35 * 0,00452929 * e ^{- 0,0673 * t}

T ' ' ( t ) = 0

<=> 35 * 0,00452929 * e ^{- 0,0673 * t} = 0

Diese Gleichung hat keine Lösung, was auch nicht verwundert, da die Abkühlungsgeschwindigkeit ja exponentiell verläuft, also mit fortschreitender Zeit exponentiell abnimmt. Die schnellste Abkühlung findet daher zu Beginn des betrachteten Zeitintervalls statt, also zum Zeitpunkt t = 0. Die Abkühlungsgeschwindigkeit v_Abk.beträgt zu diesem Zeitpunkt:

v_Abk.= T ' ( 0 ) = 35 * ( - 0,0673 ) * e ^{- 0,0673 * 0} = - 2,36 C° / Minute (gerundet)

 

4.7) T ' ( t ) = ( - 2,36 ) / 4 C°

<=> 35 * ( - 0,0673 ) * e ^{- 0,0673 * t} = - 0,59 C° / Minute

<=> e ^{- 0,0673 * t} = - 0,59 / ( 35 * ( - 0,0673 ) )

<=> ln ( e ^{- 0,0673 * t} ) = ln ( 0,59 / ( 35 * 0,0673 ) )

<=> - 0,0673 * t = ln ( 0,59 / ( 35 * 0,0673 ) )

<=> t = ln ( 0,59 / ( 35 * 0,0673 ) ) / ( - 0,0673 ) = 20,6 (gerundet)

Also: Nach etwa 20,6 Minuten beträgt die Abkühlungsgeschwindigkeit nur noch ein Viertel der anfänglichen Abkühlungsgeschwindigkeit.

Comments

Ist es ein Art Kurvendiskusion mit e Funktion , wann brauch ich immer die erste Ableitung, ich möchte gerne auch mal dahinter steigen , also verstehen.


die werden ja unterschiedlich abgeleitet , wie z,b dieser funktion a+be^0,0637 *t


Muss man innere Klammer mal äußere usw. ( die Kettenregel anwenden)

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Nun, die Lösung dieser Aufgaben erfordert Berechnungen, die auch bei der Kurvendiskussion benötigt werden (Ableitungen, Grenzwertbestimmung, usw.) Von daher findet man natürlich Ähnlichkeiten.

Zum Verständnis des Wesens der Ableitung:

Leitet man eine Funktion nach der Zeit ab, also

d f / d t

so ist das Ergebnis immer eine Formel, die eine Geschwindigkeit (also "irgendetwas" pro Zeiteinheit)  darstellt, nämlich die Geschwindigkeit, mit der sich die Funktionswerte von f ändern. In der vorliegenden Aufgabe ist dies die Geschwindigkeit der Abkühlung des Badewassers. Da die Funktionswerte von T ( t ) die Temperatur des Wassers zum Zeitpunkt t angeben,  gibt die Ableitung T ' ( t )  die Geschwindigkeit an, mit der sich diese Temperatur zum Zeitpunkt t ändert.

 

Die allgemeine Funktion

f ( x ) = a * e ^{b x}

hat nach Produktregel die Ableitung

f ' ( x ) = 0 * e ^{b x} + a *  [ e ^{b x}  ] ' = a *  [ e ^{b x}  ] '

Die Ableitung [ e ^{b x} ] ' wiederum ist nach Kettenregel (" innere Ableitung mal äußere Ableitung")

[ e ^{b x} ] ' = [ b x ] ' * e ^{b x} = b * e ^{b x}

Setzt man beides zusammen, erhält man:

f ' ( x ) = a * b * e ^{b x} 

Answer 2

Ich beschränke mich hier mal auf die groben Ansätze und deren Ergebnisse. Rechnungen sollten von dir eingefügt werden.

T(t)= 25 + 35·e^{- 0.0673·t}

4.1 Legen Sie eine Wertetabelle an für t= 0, 2,6, 10 , 20, 30, 40,50

Wertetabelle spare ich mir. Du solltest einfach für t die Werte einsetzen und T(t) ausrechnen.

Minuten und zeichen sie den Funktionsgraphen.

4.2 Mit welcher Temperatur läuft das Wasser aus dem Wasserhahn?

T(0) = 60

4.3 Wie lange daert es, bis man bei einer angenehmen Wassertemperatur von 38 °C baden kann ?

T(t) = 38
t = 14.71617688

4.4 Nach welcher Zeit hätte das Badewasser Raumtemperatur erreich, wenn die Abkühlung ab der 2 minute linear verlaufen würde?

lim (t->∞) T(t) = 25 Raumtebperatur

T(2) = 55.59229137
T'(2) = -2.058861209

Tangente aufstellen und gleich 25 setzen

- 2.058861209·(t - 2) + 55.59229137 = 25
t = 16.85884101

4.5 Wann betrug die Temperaturabnahme 1°C pro Minute?

T'(t) = -1
t = 12.73035689

4.6 Zu welchem Zeitpunkt kühlt das Wasser am schnellsten ab und wie groß ist dann die Abkühlungsgeschwindikeit?

T''(t) = 0

Keine Lösung. Damit kommen nur die Randbereiche infrage. Zeichnerisch sieht man das es bei t = 0 sein muss.

T'(0) = -2.3555

4.7 Nach wie vielen Minuten liegt nur noch ein Viertel der anfänglichen Abkühlungsgeschwindigkeit vor?

T'(t) = -2.3555/4
t = 20.59872750

Comments

Sry, aber wie ich es schon letztens erwähnt habe, mir NÜTZT es NICHTS , wenn ich es nicht mal ansatzweise nachvollziehen kann, wie du es berechnet hast. Weil nur das Herausgeben von Lösungen ist nicht sinnvoll. Ich muss ja auch verstehen, warum ich es so und so machen muss ! Zum Beispiel wie rechne ich es aus : 25 + 35e^-0,0637  * t , wenn ich jeweils die gesuchte Zeit berechnen will.

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Hallo rennu, frag bitte genau nach, was du nicht verstehst.

Bei 25 + 35e^-0,0637  * t  kannst du so nichts "ausrechnen". Du setzt für t wie oben geschrieben ein paar Werte ein.

f(t) = 25 + 35e^{-0,0637 * t} = y

f(0) = 25 + 35e^{-0,0637 * 0} = 60

f(2) = 25 + 35e^{-0,0637 * 2} = 55,81...

etc.

PS: Siehe auch Antwort von JotEs für weitere Details!

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Mein Ziel hier ist es nicht Abschreibefertige Hausaufgaben zu produzieren. Vor allem nicht wenn jemand komplette Aufgaben einstellt ohne sich Gedanken zu machen und zu sagen wo genau die Schwierigkeiten sind.

4.1 Legen Sie eine Wertetabelle an für t = 0, 2,6, 10 , 20, 30, 40,50 

Wo hast du hier also genau Schwierigkeiten, das du die Teilaufgabe nicht bereits selbst gelöst hast.  Ist dir nicht klar das man da dann nur die gegebenen Werte in die Funktionsgleichung einsetzen muss und die errechneten Werte dann in einer Tabelle festhalten soll ?

Zeichne den Funktionsgraphen.

Wo genau hast du dort Schwierigkeiten. Ist dir nicht klar das man die Werte für t und deren Funktionswerte T(t) aus der wertetabelle als Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnen soll und die dann mit einem Graphen verbinden soll.

Und so geht das durch die ganze Aufgabe weiter. Du nennst nicht genau deine Schwierigkeiten und zeigst nicht mal ansatzweise eine eigene Leistung oder einen Gedankengang.

Unter den Voraussetzungen ist es sehr schwer zu helfen.

Aus meiner Lösung gehen alle nötigen Ansätze zur Lösung der Aufgabe hervor. Auch jetzt hast du nicht konstruktiv erklärt welchen Ansatz du nicht verstehst, bzw. wo du nicht weißt wie man vom Ansatz auf die Lösung kommt.

Durch die Ansätze ergibt sich meist ein Term der zu vereinfachen ist oder eine Gleichung die aufgelöst werden muss.

Woher soll ich wissen welche Gleichungen für dich Schwierigkeiten bereiten wenn du es nicht sagst.