Reihe: Berechnen der Summe über (n^2/2^n) gegen unendlich

Question

Wie berechne ich die Summe:

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{2^{n}} \)

Answer 1

hi

$$ S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2}{2^n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+1)^2}{2^{n+1}} $$
$$ 2S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2(n+1)^2}{2^{n+1}} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+1)^2}{2^{n}} $$
$$ S = 2S - S = $$
$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+1)^2}{2^{n}} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2}{2^n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2n+1}{2^{n}} = $$
$$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2n}{2^{n}} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n} = $$
$$ 2\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{2^{n}} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n} = $$
$$ 2 \frac{\frac{1}{2}}{(1-\frac{1}{2})^2} + \frac{1}{1-\frac{1}{2}} = 2 \cdot 2 + 2 = 6 $$
wie man \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{2^{n}}\) berechnet findest du hier https://www.mathelounge.de/60826/berechnen-der-summe-der-reihe-%E2%88%91-n-2-n

Answer 2

Addiere einfach eine Null
S = ∑ (n=1 bis ∞) (n^2/2^n) = ∑ (n=0 bis ∞) (n^2/2^n)

Schreibe die Summe mit verschobenen Grenzen
S = ∑ (n=1 bis ∞) (n^2/2^n) = ∑ (n=0 bis ∞) ((n+1)^2/2^{n+1})
2·S = ∑ (n=0 bis ∞) ((n+1)^2/2^n)

S = 2·S - S
= ∑ (n=0 bis ∞) ((n+1)^2/2^n) - ∑ (n=0 bis ∞) (n^2/2^n)
= ∑ (n=0 bis ∞) ((2·n+1)/2^n)
= ∑ (n=0 bis ∞) (2·n/2^n) + ∑ (n=0 bis ∞) (1/2^n)
= 4 + 2
= 6

Die Zweite Summe war recht einfach.

∑ (n=0 bis ∞) (1/2^n) = 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 2

Die erste Summe war etwas schwieriger

∑ (n=0 bis ∞) (2·n/2^n)

Da hilft aber folgende Frage 

https://www.mathelounge.de/60826/berechnen-der-summe-der-reihe-∑-n-2-n