Antwort mit KI erzeugt
Um die gegebene Ungleichung \(\left| \sum_{j=1}^{n} x_j \right| \leq \sum_{j=1}^{n} |x_j|\) zu beweisen, verwenden wir die Methode der vollständigen Induktion.
Induktionsanfang (n = 1):
Wenn \(n = 1\), dann reduziert sich die Ungleichung auf \(\left| x_1 \right| \leq |x_1|\), was offensichtlich wahr ist, da die absolute Wert-Funktion \(| \cdot |\) immer nicht-negativ ist. Damit ist der Induktionsanfang bewiesen.
Induktionsannahme:
Nehmen wir an, dass die Ungleichung für ein beliebiges \(n = k\) wahr ist, d.h.,
\(
\left| \sum_{j=1}^{k} x_j \right| \leq \sum_{j=1}^{k} |x_j|
\)
Induktionsschritt (n = k + 1):
Wir müssen zeigen, dass die Ungleichung auch für \(n = k + 1\) wahr ist, das heißt:
\(
\left| \sum_{j=1}^{k+1} x_j \right| \leq \sum_{j=1}^{k+1} |x_j|
\)
Wir wissen aus der Induktionsannahme, dass
\(
\left| \sum_{j=1}^{k} x_j \right| \leq \sum_{j=1}^{k} |x_j|
\)
Um die Gültigkeit für \(n = k + 1\) zu zeigen, betrachten wir:
\(
\left| \sum_{j=1}^{k+1} x_j \right| = \left| \sum_{j=1}^{k} x_j + x_{k+1} \right|
\)
Wir nutzen die Dreiecksungleichung \(\left| a + b \right| \leq \left| a \right| + \left| b \right|\), um fortzufahren:
\(
= \left| \sum_{j=1}^{k} x_j + x_{k+1} \right| \leq \left| \sum_{j=1}^{k} x_j \right| + \left| x_{k+1} \right|
\)
Nun können wir die Induktionsannahme einsetzen:
\(
\leq \sum_{j=1}^{k} |x_j| + |x_{k+1}|
\)
Dies vereinfacht zu:
\(
\sum_{j=1}^{k} |x_j| + |x_{k+1}| = \sum_{j=1}^{k+1} |x_j|
\)
Damit haben wir gezeigt, dass wenn die Ungleichung für \(n = k\) wahr ist, sie auch für \(n = k + 1\) wahr ist.
Fazit:
Durch den Induktionsanfang und den erfolgreichen Induktionsschritt haben wir gezeigt, dass die Ungleichung
\(
\left| \sum_{j=1}^{n} x_j \right| \leq \sum_{j=1}^{n} |x_j|
\)
für alle natürlichen Zahlen \(n \geq 1\) wahr ist.
