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Aufgabe: Aufgabe:

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a) Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass die folgende Aussage \( \left(A_{n}\right) \) für alle \( n \geq 5 \) gilt:
\( \left(A_{n}\right) \quad \sum \limits_{k=5}^{n}\left(\begin{array}{c} k \\ k-2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} n+1 \\ 3 \end{array}\right)-10 . \quad \text { (5 Punkte) } \)

Wie würde der Induktionsschritt aussehen mit dem Anfang hatte ich keine Probleme.

Vielen Dank

Problem/

Wie würde der Induktionsschritt aussehen mit dem Anfang hatte ich keine Probleme.
Vielen Dank

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1 Antwort

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Du musst zeigen:

Wenn man zur linken Seite (und auch zur rechten Seite) \( \begin{pmatrix}n+1\\ n-1 \end{pmatrix} \) addiert, erhält man auf der rechten Seite \( \begin{pmatrix}n+2\\ 3 \end{pmatrix} -10\).


Kleiner Tipp: Wegen der Symmetrie des Pascalschen Dreiecks kannst du in \( \begin{pmatrix}n+1\\ n-1 \end{pmatrix} \) die untere Zahl durch eine wesentlich kleinere Zahl ersetzen.

Avatar von 55 k 🚀

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Text erkannt:

\( \begin{array}{l}-2)=\left(\begin{array}{c}n+1 \\ 3\end{array}\right)-10+\left(\begin{array}{c}n+1 \\ n+1-2\end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{c}n+1 \\ 3\end{array}\right)-10+\left(\begin{array}{c}n+1 \\ -2\end{array}\right) \\\end{array} \)

Wie müsste ich weiter machen?

Schau nochmal ins Pascalsche Dreieck, ob da auch negative Zahlen vorkommen. Nach Korrektur dann das Additionstheorem für Binomialkoeffizienten verwenden (falls bekannt, siehe Vorlesung). Sonst die Binomialkoeffizienten nach Def. ausschreiben.

Es kommen keine negativen Zahlen vor kann ich dann einfach die -2 zur 2 ändern oder wäre das falsch?

Nicht raten. Schau das PD nochmal genau an (an welcher Position steht unser BK?) oder verwende direkt die Formel \(\binom{n}k=\binom{n}{n-k}\).

Danke hab meinen Fehler gefunden

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