Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass 1 ≤ \frac{a_{n+1}}{a_{n}} ≤ 2 für n ≥ 0 .

Question

Aufgabe:

2.1. Die Fibonacci-Zahlen \( 1,1,2,3,5, \ldots \) werden rekursiv definiert durch \( a_{0}:=1, a_{1}:=1 \) und \( a_{n+1}:=a_{n}+a_{n-1} \) für \( n \geq 1 \). Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass \( 1 \leq \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \leq 2 \) für \( n \geq 0 \).

Comments

Wie weit bist du denn gekommen, eigentlich ist das nicht sehr schwer, du kannst auch im forum nachsehen, da gibts die Frage schon mal

lul

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Eigentlich alles

Answer 1

$$ \frac{a_1}{a_0} = 1 $$ liegt im Intervall [1;2] also

Induktionsanfang gegeben.

Wenn es bis zu einem gewissen n immer stimmt, muss man

zeigen, dass es dann auch für n+1 stimmt, dass also gilt

$$ 1 \leq \frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}  \leq 2$$

Mit der Rekursion gibt das

$$ 1 \leq \frac{a_{n}+a_{n+1}}{a_{n+1}}  \leq 2$$

$$ 1 \leq \frac{a_{n+1}}{a_{n}} + \frac{a_{n+1}}{a_{n+1}}  \leq 2$$

$$ 1 \leq \frac{a_{n}}{a_{n+1}} + 1  \leq 2$$

\( 0 \leq \frac{a_{n}}{a_{n+1}}   \leq 1  \)    #

Da nach Ind.annahme gilt

$$ 1 \leq \frac{a_{n+1}}{a_{n}}  \leq 2$$

liegt der Kehrwert zwischen 1 und 0,5, also ist # erfüllt.