Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass die folgende Aussage (A_{n}) für alle n ≥ 5 gilt:

Question

Aufgabe: Aufgabe:

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a) Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass die folgende Aussage \( \left(A_{n}\right) \) für alle \( n \geq 5 \) gilt:
\( \left(A_{n}\right) \quad \sum \limits_{k=5}^{n}\left(\begin{array}{c} k \\ k-2 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} n+1 \\ 3 \end{array}\right)-10 . \quad \text { (5 Punkte) } \)

Wie würde der Induktionsschritt aussehen mit dem Anfang hatte ich keine Probleme.

Vielen Dank

Problem/

Wie würde der Induktionsschritt aussehen mit dem Anfang hatte ich keine Probleme.
Vielen Dank

Answer 1

Du musst zeigen:

Wenn man zur linken Seite (und auch zur rechten Seite) \( \begin{pmatrix}n+1\\ n-1 \end{pmatrix} \) addiert, erhält man auf der rechten Seite \( \begin{pmatrix}n+2\\ 3 \end{pmatrix} -10\).

Kleiner Tipp: Wegen der Symmetrie des Pascalschen Dreiecks kannst du in \( \begin{pmatrix}n+1\\ n-1 \end{pmatrix} \) die untere Zahl durch eine wesentlich kleinere Zahl ersetzen.

Comments

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}-2)=\left(\begin{array}{c}n+1 \\ 3\end{array}\right)-10+\left(\begin{array}{c}n+1 \\ n+1-2\end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{c}n+1 \\ 3\end{array}\right)-10+\left(\begin{array}{c}n+1 \\ -2\end{array}\right) \\\end{array} \)

Wie müsste ich weiter machen?

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Schau nochmal ins Pascalsche Dreieck, ob da auch negative Zahlen vorkommen. Nach Korrektur dann das Additionstheorem für Binomialkoeffizienten verwenden (falls bekannt, siehe Vorlesung). Sonst die Binomialkoeffizienten nach Def. ausschreiben.

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Es kommen keine negativen Zahlen vor kann ich dann einfach die -2 zur 2 ändern oder wäre das falsch?

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Nicht raten. Schau das PD nochmal genau an (an welcher Position steht unser BK?) oder verwende direkt die Formel \(\binom{n}k=\binom{n}{n-k}\).

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Danke hab meinen Fehler gefunden