Komplexe Zahl mit hohem Exponenten berechnen ^2015

Question

Aufgabe:

$$ \left( e ^ { i \frac { \pi } { 3 } } \right) ^ { 2015 } = \left( e ^ { i \frac { \pi } { 3 } } \right) ^ { 6 \cdot 335 + 5 } $$

Problem/Ansatz:

Wie komme ich auf die Umformung oben ?

Answer 1

2pi / (pi/3) = 6

2015 : 6 = 335 Rest 5

Also 2015 = 6*335 + 5

Comments

Wenn ich das einfach oben hin multipliziere und dann mit Rest durch 3 Teile komme ich auch auf 671,667. Also wäre es doch eigentlich einfacher hier alle geraden zahlen abzuziehen, also würden dann 1,667 übrig. Bleiben. Da das ganze sich ja immer bei 2 Pi wiederholt würde das dann 5Pi/3 ergeben. Ginge das auch?

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Rechne das mal vor wie du es dir gedacht hast. Irgendwie habe ich das nicht verstanden.

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Hallo

 nein die Geraden Faktoren  reichen nicht! denn (e^ipi/3)^2 ist ja nicht 1 nur (e^ipi/3)^6=1

du hast dann (e^ipi/3)^(3*671+2) was machst du damit  was sollen diese 1,667 womit du anscheinend 5/3 ungenau hinschreibst?

wie es dir gesagt wurde ist wirklich der beste Weg, deinen müsstest du schon so hinschreiben, dass man die 5/3pi versteht, die rauskommen  .

Gruß lul

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So hab ich erstmal 2015 / 3 geteilt

\begin{array} { l } { 2015 : 3 = 671 + \frac { 2 } { 3 } } \\ { \frac { 18 } { 21 } } \\ { \frac { 21 } { 5 } } \\ { \frac { 3 } { 1 } \text { Rest } 2 } \end{array}

Dann hab ich die 2Pi-Periodität ausgenutzt und eine gerade Zahl abgezogen. also -670

$$ e ^ { i ( 671 + 2 / 3 ) \pi } $$

wird zu:

e^(i* 5/3 Pi)

Oben bleibt ja dann 1 + 2/3 stehen :)

So ist es doch richtig oder?

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Das ist richtig.

Das bekommt man ja auch nach der Vereinfachung wie sie vorgeschlagen wurde heraus.

Answer 2

leichter verständlich ist es vielleicht so:

e^(i*pi/3)^(2015)

=e^(i*pi/3 *2015)

=e^(i*2pi *2015/(6))

=e^(i*2pi*(335+5/6))

=e^(i*2*pi*5/6)

=e^(i*5/3 *pi)