Berechnung einer komplexen Zahl im hohem Exponenten

Question

Aufgabe:

Ich habe die komplexe Zahl (1+i)³⁰⁴⁷ gegeben und es soll der Realteil, der Imaginärteil und das Argument der komplexen Zahl berechnet werden.

Ich habe leider keine Ahnung, wie ich mit der Zahl umgehen soll, auf Grund des hohen Exponenten.

Wie kann ich diese Zahl also in eine geeignete komplexe Zahl umformen und wie berechne ich das Argument?

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Aloha :)

Da du auch das Argument der komplexen Zahl berechnen sollst, musst du die Zahl eh in Polarkoordinaten schreiben. Dazu betrachte zunächst nur $(1+i)$ und klammere den Betrag $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$ aus:$$1+i=\sqrt2\left(\underbrace{\frac{1}{\sqrt2}}_{=\cos(\pi/4)}+i\,\underbrace{\frac{1}{\sqrt2}}_{=\sin(\pi/4)}\right)=\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\,\sin\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2\cdot e^{i\,\pi/4}$$Jetzt kommt der Exponent dazu:$$(1+i)^{3047}=\left(\sqrt2\cdot e^{i\,\pi/4}\right)^{3047}=(\sqrt2)^{3047}\cdot\left(e^{i\,\pi/4}\right)^{3047}=(\sqrt2)^{3046}\cdot\sqrt2\cdot e^{i\,3047/4\cdot\pi}$$Da die Argumente der trigonometrischen Funktionen die Periode $2\pi$ haben, gilt:$$e^{i\,3047/4\cdot\pi}=e^{i\,3040/4\cdot\pi+i\,7/4\cdot\pi}=e^{i\,760\cdot\pi}\,e^{i\,7/4\cdot\pi}=e^{i\,380\cdot2\pi}\,e^{i\,7/4\cdot\pi}={\underbrace{(e^{i\,2\pi})}_{=1}}^{380}\, e^{i\,7/4\cdot\pi}$$Den Betrag kann man auch noch umformen:$$(\sqrt2)^{3046}\cdot\sqrt2=\left((\sqrt2)^2\right)^{1523}\sqrt2=2^{1523}\sqrt2$$Damit ist:$$(1+i)^{3047}=2^{1523}\sqrt2\,e^{i\,7\pi/4}=2^{1523}\sqrt2\cdot\left(\underbrace{\cos\frac{7\pi}{4}}_{=1/\sqrt2}+i\underbrace{\sin\frac{7\pi}{4}}_{=-1/\sqrt2}\right)=2^{1523}(1-i)$$Das Argument haben wir auch schon, nämlich $\frac{7\pi}{4}$ bzw. $-\frac{\pi}{4}$.

Comments

Vielen Dank! Das ist sehr verständlich.

Answer 2

((1+i)²=2i; ((1+i)³=2l-2; ((1+i)⁴=-4

(1+i)³⁰⁴⁷ =(1+i)^4·761+3=((1+i)⁴)⁷⁶¹·(1+i)³=(-4)⁷⁶¹·(1+i)³

Hilft dir das weiter?

Answer 3

Wandle z in die trigonometrische Form oder in die Exponentialform um.

Was du vermutlich weißt, wo du aber nicht an die Anwendbarkeit gedacht hast:

Beim Multiplizieren zweier komplexer Zahlen werden die Beträge multipliziert und die Argumente addiert.

Überträgt man diese Regel auf das Potenzieren (sprich: mehrfaches Multiplizieren), dann muss du den Betrag von (1+i)
hoch 3047 nehmen

und das Argument von  (1+i)
mit 3047 multiplizieren.