Aloha :)
Da du auch das Argument der komplexen Zahl berechnen sollst, musst du die Zahl eh in Polarkoordinaten schreiben. Dazu betrachte zunächst nur \((1+i)\) und klammere den Betrag \(\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2\) aus:$$1+i=\sqrt2\left(\underbrace{\frac{1}{\sqrt2}}_{=\cos(\pi/4)}+i\,\underbrace{\frac{1}{\sqrt2}}_{=\sin(\pi/4)}\right)=\sqrt2\left(\cos\frac{\pi}{4}+i\,\sin\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt2\cdot e^{i\,\pi/4}$$Jetzt kommt der Exponent dazu:$$(1+i)^{3047}=\left(\sqrt2\cdot e^{i\,\pi/4}\right)^{3047}=(\sqrt2)^{3047}\cdot\left(e^{i\,\pi/4}\right)^{3047}=(\sqrt2)^{3046}\cdot\sqrt2\cdot e^{i\,3047/4\cdot\pi}$$Da die Argumente der trigonometrischen Funktionen die Periode \(2\pi\) haben, gilt:$$e^{i\,3047/4\cdot\pi}=e^{i\,3040/4\cdot\pi+i\,7/4\cdot\pi}=e^{i\,760\cdot\pi}\,e^{i\,7/4\cdot\pi}=e^{i\,380\cdot2\pi}\,e^{i\,7/4\cdot\pi}={\underbrace{(e^{i\,2\pi})}_{=1}}^{380}\, e^{i\,7/4\cdot\pi}$$Den Betrag kann man auch noch umformen:$$(\sqrt2)^{3046}\cdot\sqrt2=\left((\sqrt2)^2\right)^{1523}\sqrt2=2^{1523}\sqrt2$$Damit ist:$$(1+i)^{3047}=2^{1523}\sqrt2\,e^{i\,7\pi/4}=2^{1523}\sqrt2\cdot\left(\underbrace{\cos\frac{7\pi}{4}}_{=1/\sqrt2}+i\underbrace{\sin\frac{7\pi}{4}}_{=-1/\sqrt2}\right)=2^{1523}(1-i)$$Das Argument haben wir auch schon, nämlich \(\frac{7\pi}{4}\) bzw. \(-\frac{\pi}{4}\).
