Vereinfachen von Termen (Vollständige Induktion)

Question

Heyo,

ich habe zwei Aufgaben mit vollständiger Induktion begonnen, nun stehe ich am Ende meines beweisen. Um die Induktionsbehauptung zu beweisen muss ich den Term nur noch umformen, dass er den gleichen Ausdruck darstellt wie in der Behauptung. Leider habe ich Schwierigkeiten beim Umstellen. Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen und ein paar Tipps geben^^

Aufgabe:

1)-->((n^2)*(n+1)^2+4*(n+1)^3)/4

Am Ende sollte Umgeformt folgendes Rauskommen um die Induktionsbehauptung zu beweisen:

((n+1)^2*(n+2)^2)/4

2)-->(1/3)*n(n+1)*(n+2)+(n+1)*(n+2)

Am Ende sollte Umgeformt folgendes Rauskommen um die Induktionsbehauptung zu beweisen:

(1/3)*(n+1)*(n+2)*(n+3)

Vielen Dank Im Voraus^^

Mfg, memolol

Answer 1

Den Nenner lasse ich mal weg, der steht ja am Ende immer noch da:

((n^2)*(n+1)^2+4*(n+1)^3

= ((n^2)*(n+1)^2+4*(n+1)^2*(n+1)  jetzt (n+1)^2 ausklammern

= (n+1)^2  * ( n^2 + 4(n+1))

= (n+1)^2  * ( n^2 + 4n+4)

=(n+1)^2  * (n+2)^2

Bei dem zweiten kannst du (n+2)*(n+1) ausklammern.

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Vielen Dank für die schnelle Antwort.

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ich hätte doch noch eine Frage zu 2).

Wenn ich (n+2)*(n+1) ausklammere dann hab ich:

(n+2)*(n+1)(1/3+n)  → 1/3*(n+1)*(n+2)*(n+1)

und nicht 1/3*(n+1)*(n+2)*(n+3).

Schonmal Vielen Dank im Voraus.

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(1/3)*n(n+1)*(n+2)+(n+1)*(n+2)

= (n+1)*(n+2) * ( n/3 + 1 )

= 1/3 * 3 *  (n+1)*(n+2) * ( n/3 + 1 )

und die 3 in die letzte Klammer gibt

= 1/3 *  (n+1)*(n+2) * ( n+ 3 ) 

Answer 2

1) Betrachte den Zähler. Klammere (n+1)² aus:

(n+1)²·[n²+4*(n+1)]=(n+1)²·[n²+4n+4]=(n+1)²·(n+2)² .

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Vielen herzlichen Dank für die schnelle Antwort^^