Vollständige Induktion: Term vereinfachen zu 1-(1/(n+2))

Question

ich bin bei der Aufgabe $$\sum _{ k=1 }^{ n }{ \frac { 1 }{ k(k+1) }  } =\quad 1-\frac { 1 }{ n+2 }$$ durch vollständige Induktion zu beweisen.
Beim I.S. stecke ich dabei fest $$1-\frac { 1 }{ n+1 } +\frac { 1 }{ (n+1)*(n+2) }$$  zu  $$1-\frac { 1 }{ n+2 }$$ umzuformen.
Wo ist mein Denkfehler?

  :)

Answer 1

$$\small 1-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{\left(n+1\right)\cdot\left(n+2\right)}=1-\frac{1}{n+1}\cdot\left(1-\frac{1}{n+2}\right)=1-\frac{1}{n+1}\cdot\frac{n+1}{n+2}$$

Comments

ich verstehe leider nicht, wie der letzte Schritt funktioniert. Wie komme ich von
1-(1/n+1)*(1-(1/n+2)) auf 1-(1/n+1)*(n+1/n+2)
 Vielen Dank

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Ersetze  1  durch (n + 2) / (n + 2).
1 - 1 / (n + 2) = (n + 2) / (n + 2) - 1 / (n + 2) = (n + 2 - 1) / (n + 2) = (n + 1) / (n + 2).