Du da wär ich echt neugierig. Ob Lu, der hier " als " so gelobt wird, überhaupt einen Plan hat, wie man die Probe auf eine quadratische Gleichung ( QG ) macht. " Dem sein " Lehrer wäre der erste, der das weiß ...
450 / n = 450 / ( n - 5 ) - 1 | * HN ( 1 )
450 ( n - 5 ) = 450 n - n ( n - 5 ) ( 2a )
f ( n ) = n ² - 5 n - 5 * 450 = 0 ( 2b )
Wenn du jetzt glaubst, dass sich Pappi auf die Mitternachtsformel ( MF ) einlässt; dann irrst du gewaltig. Haben wir überhaupt eine Garantie, dass die Lösung in ( 2b ) ganzzahlig ist? Die Antwort lautet Ja; frag mal deinen Lehrer ( Der weiß noch gar nix von seinem Glück. Ja der " weiß nicht mal, dass er es nicht weiß " , weil doch Gauß der Entdecker ist - hahaa. ) Schau doch mal, was Pappi alles weiß ...
https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen
Hast du DAS verstanden? Und dich von deinem ersten Schreck erholt?
WARUM ist Wurzel ( 2 ) irrational? Ein User kommentierte den " Satz von der rationalen Nullstelle " ( SRN ) übrigens, schwer sei der Beweis nun wirklich nicht - eine Fieldsmedaille gebe es dafür voraussichtlich nicht ...
Warum hatte dann niemand in den verflossenen 200 Jahren die Idee, das mit dem Wurzel ( 2 ) so zu beweisen? Versteht doch jeder Schüler ( bloß die Lehrer nicht ... )
Mir Frankfotter kenne da den Witz von dem klaa Äffche, wo uff eine Palm im Dschungel hockt. Unn von alle Seite kimmt konzentrisch e Feuerwalz uff des arme Äffsche auf zu. Wie pringt sisch des Äffsche in Sischerheit?
Ei woher soll's dann des klaa Äffsche wisse, wnn's de große Aff net weiß?
Genau so verhält sich das auch mit dem SRN .
Unmittelbar nachdem ich von dem SRN erfuhr, gelangen mir gleich drei Entdeckungen zu dem Thema ( Nein; DAS kennt Wiki nicht mehr. )
Punkt 1 . Zwei pq-Formeln, die ich dir am Beispiel von ( 2b ) erläutern werde. Stell dir vor, du hast diese zwei rationalen Wurzeln
x1;2 := p1;2 / q1;2 € |Q ( 3a )
Dann gilt
p1 p2 = a0 = ( - 5 * 450 ) ( 3b )
q1 q2 = a2 = 1 ( 3c )
Und Gauß, der Entdecker des SRN , sollte die überragende Bedeutung hinter ( 3bc ) nicht erkannt haben? Und abermals: Niemand sollte sich in den letzten 200 Jahren dafür intressiert haben? Das genau ist meine größte Trumpfkarte gegen Gauß.
Ich habe auch sonst eine ziemlich sichere Spürnase; das Umgekehrte ist mir nämlich auch schon passiert. Ich " entlarvte " einen Autor, der autentische Tagebücher als seine freien Fantasien verkaufte.
Du hast verstanden, dass du sämtliche Zerlegungen des Absolurtgliedes 5 * 450 ( ! ) raten musst. Halt stop; vor mir hat sich noch niemand gefragt, was ist ggt n1;2 ? Und das gibt jetzt Punkt 2, meine zweite Entdeckung und gleichzeitig zweite Trumpfkarte gegen " Teilerfürst " Gauß.
Sei m ein Teiler; dann folgt aus dem Satz von Vieta
m | n1;2 <===> m | p ; m ² | q ( 4a )
Ein m , das die rechte Seite von ( 4a ) befriedigt, möge K-Teiler des Polynoms f in ( 2b ) heißen - K wie Koeffizient. Der größte K-Teiler ist dann selbst redend der gkt . Die Behauptung
ggt n1;2 = gkt ( f ) ( 4b )
Und zwar kannst du ein Polynom genau so durch seinen gkt kürzen, wie man einen Bruch durch seinen ggt kürzt. dies geschieht vermöge der Substitution
n =: u * gkt ( f ) = 5 u ( 4c )
( 4c ) einsetzen in ( 2b )
f ( u ) = ( 5 u ) ² - 5 ( 5 u ) - 90 * 5 ² = ( 5a )
= 5 ² ( u ² - u - 90 ) = 0 ( 5b )
Aber auch Freunde der MF sollten den gkt beachten. Der tritt ja als gemeinsamer Faktor vor die Mitternachtswurzel.
Und jetzt sehen wir Land. Die Zerlegung von 90 lautet 90 = 2 * 3 ² * 5 . Aber jetzt sind wir ja sicher, dass u1;2 Teiler fremd; das Dreierpäckchen darfst du nie " aufschnüren " Wir müssen die 90 praktisch behandeln als 90 = 2 * 5 * 9 ( Hinreichende ) Probe - überlebenswichtig in jeder Klausur - ist immer der Vieta von ( 5b )
p = u1 + u2 = 1 ( 5c )
Das geht jetzt streng nach ===> Binominalstatistik; die 90 hat k = 3 Faktoren. Erst kommt ( 3 0 ) = 1 Möglichkeit - die triviale Zerlegung - mit " null " Primfaktoren
| u1 | = 1 ; | u2 | = 90 ; | p | = 89 ( 6a )
Dann ( 3 1 ) = 3 Zerlegungen mit jeweils einem Teiler
| u1 | = 2 ; | u2 | = 5 * 9 = 45 ; | p | = 43 ( 6b )
| u1 | = 5 ; | u2 | = 2 * 9 = 18 ; | p | = 13 ( 6c )
| u1 | = 9 ; | u2 | = 2 * 5 = 10 ; | p | = 1 ( 6d ) ; okay
jetzt noch das Vorzeichen richtig drehen - und fertig ist die Laube.
u1 = ( - 9 ) ; u2 = 10 ===> n1 = ( - 45 ) ; n2 = 50 ( 7 )
( die Probe auf die Ausgangsgleichung habe ich im Kopf gemacht. )
