Der Ansatz funktioniert nur, wenn die innere Funktion linear ist! Das ist hier der Fall, aber merk es dir trotzdem bitte!
Wenn ich deine Lösung ausmultipliziere komme ich auf
$$ 3x^3 +6x^2 +4x + \frac{8}{9} +C$$
und da sich dieser Term nur hinsichtlich einer Konstante von der Musterlösung unterscheidet, ist deine Lösung richtig.
Alternativ kann man das durch Ableiten verifizieren:
$$ \frac{\text{d}}{\text{d}x} \left(\frac{1}{9}(3x+2)^3\right) = \frac{1}{9} \cdot \underbrace{ 3\cdot(3x+2)^2 }_{\text{äußere Ableitung}} \cdot \underbrace{3}_{\text{innere Ableitung}} = (3x+2)^2 $$