Um welche kombinatorische Figur handelt es sich?

Question

Aufgabe:

Ein Quadrat besteht aus 16 Feldern. Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass  8 schwarze und 8 weiße Kugeln auftreten?

Ich habe hier sowohl mit dem Binominalkoeffizienten als auch mit der Permutation ohne Wdh das gleiche Ergebnis raus. Was davon ist also richtig und warum?

Answer 1

Es ist egal ob du hier über Permutationen oder dem Binomialkoeffizienten rechnest.

(16 über 8) = 16! / (8! * 8!) = 12870

Comments

Über eine Permutation würde es in diesem Fall gehen, weil es sich um 16 Felder handelt und man alle 16 betrachtet, oder?

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Nein. Weil man 16 Kugeln anordnen kann, wobei die 8 weißen und die 8 schwarzen nicht unterscheidbar sind.

Answer 2

Hallo Pete,

Ich habe hier sowohl mit dem Binominalkoeffizienten als auch mit der Permutation ohne Wdh das gleiche Ergebnis raus. Was davon ist also richtig und warum?

Der direktere gedankliche Weg ist über den Binomialkoeffizienten:

Man berechnet die Anzahl der Möglichkeiten, aus 16 Felder (z.B.) genau 8 schwarze Felder auszusuchen. Dabei wird keine Reihenfolge beachtet:

\(\begin{pmatrix} 16 \\ 8 \end{pmatrix}\)

Bei Beachtung einer Reihenfolge kann man sich die Zeilen der 16 Felder nummeriert nebeneinander vorstellen:

Diese werden permutiert (16! M.). Dann stimmen aber jeweils 8! dieser M. für schwarz und 8! für weiß bzgl. der Farben überein: $$\frac{16!}{8!·8!}$$ Das Ergebnis ist (natürlich!) jeweils das gleiche.

Gruß Wolfgang

Comments

Der direktere gedankliche Weg ist über den Binomialkoeffizienten.

Nicht unbedingt.

Wie würdest du rechnen wenn du 4 weiße, 4 schwarze, 4 blaue und 4 rote Kugeln hast?

Liegt da jetzt nicht eigentlich die Formel der Permutation näher?

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Was soll das? Es geht hier um eine konkrete Aufgabe!

Und gefragt war (nur!) nach dem "Warum".

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Die man durchaus ja etwas variieren kann damit man sieht das durchaus die Formel der Permutation der direktere Gedankliche Weg ist.

Was ich sagen will ist das es wohl verschiedene Ansichten geben kann was der direktere Weg ist. Es hängt eben davon ab wie man denkt.

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Wie man hier deutlich sieht

Über eine Permutation würde es in diesem Fall gehen, weil es sich um 16 Felder handelt und man alle 16 betrachtet, oder?

Ist hier der Weg über den BK für den Fragesteller der "direktere" gedankliche Weg, was natürlich hier mit der künstlichen scheinbaren Komplikation der Anordnung der Felder als Quadrat zusammenhängt.

Im Übrigen ließe deine schlichte Begründung für die gleichen Ergebnisse durchaus noch die Möglichkeit offen, dass das Ergebnis einfach falsch ist.