Kurze Frage zu injektiv,surjektiv,bilektiv und Wertemenge

Question

Erstmal danke für alles schreibe übermorgen endlich die Klausur.

Die Frage: Eine Matrix muss quadratisch sein und der Rang ist gleich der Anzahl der Spalten damit sie injektiv ist

oder reicht da nur die Bedingung, dass der Rang gleich Anzahl der Spalten ist damit Injektivität vorliegt.(Ich glaub damit ist nur die Injektivität der Abbildung der Matrix gemeint)

Weil eine Matrix kann doch nur injektiv und invertrierbar sein bei einer quadratischen Matrix. Und Invertierbar ist eine quadratische Matrix nur, wenn die Determinante ungleich 0 ist.

Eine Frage noch zur Wertemenge:

A ∈ R^mxn , Es gilt Wertemenge=R^m wenn rang von A = m ist also Anzahl der Spalten, muss A dafür quadratisch sein?

Vielen Dank im voraus

Answer 1

oder reicht da nur die Bedingung, dass der Rang gleich Anzahl der Spalten ist damit

 Injektivität vorliegt.(Ich glaub damit ist nur die Injektivität der Abbildung der Matrix gemeint)

Ja, so ist es, dann sind die Spalten linear unabh.

eine Matrix 8also die zugehörige Abbildung)  kann doch nur

injektiv und invertrierbar sein bei einer quadratischen Matrix.

Ja, dann folgt aus Injektiv nämlich surjektiv und damit Invertierbarkeit.

 Und Invertierbar ist eine quadratische Matrix nur, wenn die Determinante ungleich 0 ist.

Ja !

A ∈ Rmxn , Es gilt Wertemenge=Rm wenn rang von A = m ist also Anzahl der Spalten,

muss A dafür quadratisch sein?   Nein, die Spalten von A erzeugen das Bild.

Wenn rang=m ist, dann ist das Bild m-dimensional also gleich R^m .

Comments

Vielen Dank. Eine Frage noch, wenn eine quadratische Matrix eine Nullzeile hat, dann ist sie nicht surjektiv und damit nicht invertierbar? Mit dieser Erkenntnis brauch ich ja dann keine die Determinante berechnen um zu schauen, ob die Matrix eine Inverse hat.