Wie berechne ich algebraisch die Nullstelle einer ganzrationalen Funktion dritten (oder höher) Grades?

Question

 Aufgabe:

Bestimme die Nullstelle dieser Funktion

f(x)=(x³− (7/2)•x²+(19/4)•x-(21/8))

Problem/Ansatz:

Ich habe im Moment das Problem, dass mir der Ansatz fehlt um von dieser ganzrationalen Funktion die Nullstellen auszurechnen. Ich weiß, dass am Ende als Nullstelle 1,5 herauskommt, komme allerdings durch einen algebraischen Lösungsweg immer auf mehrere Lösungen. Könnt ihr mir helfen?

Answer 1

Darfst du das mit dem Rechner oder muss es von Hand gelöst werden?

Comments

Die Aufgabe soll hauptsächlich von hand gelöst werden und nur kleine Zwischenrechnungen mit dem Taschenrechner.

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Du kennst dich mit der Polynomdivision aus?

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Alternativ versuchen zu faktorisieren (könnte schwierig werden).

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Das wollte ich auch gerade sagen. Das Faktorisieren wäre die zweite Möglichkeit. Ich mache es auch gerade.

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Mit Polynomdivision kenne ich mich ein bisschen aus. Man müsste in diesem Fall aber erst eine Nullstelle „erraten“ oder wie mache ich das?

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Faktorisieren habe ich auch schon ausprobiert, das ist allerdings wirklich schwer.

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Genau. Und dann dividierst die Funktion durch (x-a), wobei a den x-Wert der Nullstelle darstellt.

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Probier es einfach mal mit der Polynomdivision, vielleicht klappt es.

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Was willst du denn substituieren?

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Ich habe es dir jetzt mal mit der Faktorisierungsmethode gelöst.

x^3 - (7x^2)/2 + (19x)/4 - 21/8

= > 8x^3-28x^2+38x-21 = 0

=> (2x-3) (4x^2-8x+7) = 0

Nullstelle: x1 = 3/2

x2 = nicht definiert, da der Graph die x-Achse nicht berührt. Das bedeutet, dass es nur eine Nullstelle gibt für diese Aufgabe.

Vielleicht kennt sich da jemand besser aus, für mich ist das einfach die plausibelste Erklärung, dass die zweite Klammer keine Nullstelle liefert, da die Funktion dort nicht die x-Achse berührt.

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Exakt. Die Diskriminante der quadratischen Funktion in der Klammer ist kleiner null. Somit existieren keine reellen Nullstellen.

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Falls du dich fragst, wie ich das faktorisiert habe hier meine Überlegungen:

= > 8x^3 - 28x^2 + 38x - 21 = 0

Man sieht

8x^3 und das kann man am besten in 2x * 4x^2 aufteilen, das ist ja logisch nachvollziehbar hoffentlich.

Dadurch hat man schon die Klammer.

(2x ) (4x^2 )

Dann habe ich mir das Ende angeschaut. 21 ist doch 3 * 7, da dort - steht kann ich jetzt ausprobieren. Ich habe -3 gewählt.

(2x-3)(4x^2 + 7)

Wenn man das ausrechnet, dann merkt man schnell, dass da noch das Mittelglied fehlt. Und dann habe ich mir überlegt, dass ich auf -28 kommen muss. Ich habe ja schon -3 *4x^2 = -12x^2

Bis -28x^2 fehlen mir 16x

Um mit 2x auf diese -16x zu kommen, habe ich sie durch 2 geteilt, was -8x ergibt.

Man sieht jetzt eine Struktur.

(2x-3)(4x^2-8x+7) = 0

Ich hoffe, dass dir die Gedankengänge beim Faktorisieren helfen. Ich weiss selber, wie hilflos man beim Faktorisieren sein kann, wenn man nicht geübt ist.

Answer 2

Hallo Tilly,

x³ - 7x²/2 + 19x/4 - 21/8 = 0    | • 8

8x³ - 28x² + 38x - 21 = 0

Der Summand  8x³ = (2x)³  kann einen auf die Idee bringen,  die Substitution  z = 2x
zu versuchen:

z^3 - 7·z^2 + 19·z - 21 = 0

3*7 = 21  ergibt den Versuch  z = 3 mit Treffer.

Polynomdivision:
( z^3 - 7·z^2 + 19·z - 21 ) : (z - 3) = z^2 - 4·z + 7

pq-Formel ergibt für den quadratischen Restterm keine reellen Nullstellen, weil der Term unter der Wurzel negativ wird..
→  z = 3  und damit  x = 3/2 beim Ausgangsterm ist die einzige reelle Nullstelle

Gruß Wolfgang

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Danke für die Ergänzung. :D Habe vergessen das noch zu schreiben mit der Substitution.