In welcher Zeitspanne verdoppelt sich die Anzahl der in Wikipedia erschienen Artikel?

Question

Nach den 1.Oktober 2002 nahm die Anzahl der im internetlexikon Wikipedia erschienenen englischen Artikel näherungsweise gemäß der Funktion f mit
f (x) = 80000 • e^{0.0002•x} (x in Tagen) zu.
a) wie viele artikel gab es annähernd am 1.januar 2003 bzw. am 1.januar 2004?
b) wann gäbe es eine Million Artikel, wann eine Milliarde, wenn dieses Wachstum sk anhält?
c) in welcher Zeitspanne verdoppelt sich die Anzahl der erschienen Artikel? Zeigen Sie, dass diese Verdopplungszeit immer gleich ist.

Answer 1

f(x) = 80000·e^{0.0002·x}

a) wie viele artikel gab es annähernd am 1.januar 2003 bzw. am 1.januar 2004?

f(92) = 80000·e^{0.0002·92} = 81486
f(457) = 80000·e^{0.0002·457} = 87657

b) wann gäbe es eine Million Artikel, wann eine Milliarde, wenn dieses Wachstum sk anhält?

f(x) = 80000·e^{0.0002·x} = 1000000
x = 12629 Tage = 34.58 Jahre

f(x) = 80000·e^{0.0002·x} = 1000000000
x = 47168 Tage = 129.14 Jahre

c) in welcher Zeitspanne verdoppelt sich die Anzahl der erschienen Artikel?

e^{0.0002·x} = 2
x = 3466 Tage = 9.49 Jahre

Answer 2

f(x) = 80 000 *e^0,002*x (x in Tagen und f(x) ist die Anzahl der Artikel)

zu a)

vom 01.10.2002 bis 01.01.2003 müssten es 92 Tage gewesen sein -> x = 92

=> f(92) = 80 000 *e^0,002*92 =  96 161

vom 01.10.2002 bis 01.01.2004 müssten es (92 + 365) Tage gewesen sein -> x = 457

=> f(457) = 80 000 *e^0,002*457 =  199 542

zu b)

f(x) = 1 Million = 1 000 000

-> 1 000 000 = 80 000 *e^0,002*x    | : 80 000

-> 12,5 = e^0,002*x                      | ln

-> ln(12,5) = ln(e^0,002*x)

-> ln(12,5) = 0,002*x               | : 0,002

-> x = ln(12,5)/0,002

-> x = 1262 Tage (3 Jahre und 167 Tage.

Analog geht es für f(x) = 1 Milliarde = 1 000 000 000 ...

zu c)

f(x) = 2 (Verdoppelung) -> 2 = (e^0,002*x) -> ln(2) = 0,002*x -> x = ln(2)/0,002 = 346 Tage

Zeigen:

Beispielsweise wenn am Anfang (01.10.2002) 80 000 Artikel vorliegen, dann müssten nach 346 Tagen 160 000 Artikel erschienen sein.

->  f(x = 346)) = 80 000 e^0,002*346 ≈ 160 000 -> ok

Oder wieder 346 Tage später eine Verdoppelung

->  f(x = 346)) = 160 000 e^0,002*346 ≈ 320 000 -> ok