Teilung der Diagonale eines Parallelogramms

Question

Gegeben ist das Parallelogramm ABCD. M sei der Mittelpunkt von \( \vec{BC} \) und N sei der Mittelpunkt von \( \vec{CD} \). In welchem Verhältnis teilen AM und AN die Diagonale \( \vec{BD} \) des Parallelogramms?

Answer 1

Dann geht es wohl eher über Strahlensätze.

es reicht, das Verhältnis der Abschnitte der Seitenhalbierenden (Schwerelinien) im Dreieck als bekannt voraus zu setzen.

\(X\) ist die Mitte von \(|AC|\) und \(|BD|\) und somit ist \(P\) der Schwerpunkt von \(\triangle ABC\) und \(Q\) der Schwerpunkt von \(\triangle ACD\). Zusammen mit \(|BP| \div |PX| = 2 \div 1\) und \(|XQ| \div |QD| = 1 \div 2\) folgt daraus: $$|BP| = |PQ| = |QD|$$

Erweiterung der Antwort:

Es geht auch ohne die Seitenhalbierende und ähnlich einfach:

Das Parallelogramm \(ABCD\) und die Gerade durch \(AM\) sind ähnlich zu dem Parallelogramm \(MXC'B\) und der Geraden durch \(MM'\) (man denke sich das kleinere Parallelogramm um 180° gedreht). Folglich ist$$\frac{|PB|}{|XB|} = \frac{|DP|}{|DB|} = \frac{|DP|}{2|XB|} \space \implies |DP|=2|PB|$$Gruß Werner

Comments

Antwort erweitert ....

Answer 2

In welchem Verhältnis teilt AM die Diagonale BD ?

Sei AB = Vektor a und AD = Vektor b .

Dann gilt

Vektor AM= a + 0,5b

Und wenn S der Teilpunkt ist also

Vektor AS = x* AM =  x*a + 0,5x*b .

Außerdem ist

Vektor BD  = - a + b also

Vektor BS = y* BD =y*(- a + b ) =  -y*a + y*b

Und es ist ein Rundweg ABSA, also

a + BS + SA = 0-Vektor also

a + ( -y*a + y*b)  - (  x*a + 0,5x*b )  = 0

geordnet

( 1 -y -x ) * a  + (y - 0,5x) * b = 0

Da a und b linear unabh. sind:

1-y-x=0   und    y-0,5x = 0

1-y-x=0   und    y=0,5x

1 -0,5x - x = 0

        x = 2/3  und  y = 1/3

Also ist BS dann 1/3 von BD und damit teilt

S die Strecke BD im Verhältnis 1 : 2 also

teilt AM die Diagonale BD  im Verhältnis 1 : 2 .

Mit einem anderen "Rundweg" findest du auch das andere heraus.

Comments

Die Lösung ist richtig, aber sehr umständlich. Den Vektorpfeil habe ich an Stelle eines Streckenstriches gewählt, den es hier nicht gibt. Das war elementargeometrisch gemeint und nicht vektoriell.

---

\(\overline{BC}\) mit \overline{BC} wäre eine Möglichkeit.

---

Dann geht es wohl eher über Strahlensätze.

Der Vektorpfeil hatte mich zu vektorieller

Lösung ermuntert.