Lebesgue Maße berechnen

Question

Die Frage lautet :

X = [0,1]

∫ (1/x) dL¹(x) = ∞

∫(1/√x) dL¹(x) = 2

Als Hinweis: Man soll den Satz von beppo Levi verwenden.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Lebesgue Maße berechnen

Um die gestellten Integrale

$\int_0^1 \frac{1}{x} \, dL^1(x)$

und

$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dL^1(x)$

zu berechnen, nutzen wir den Satz von Beppo Levi, auch als Satz der monotonen Konvergenz bekannt. Dieser besagt im Kern, dass wenn wir eine monoton wachsende Folge von messbaren Funktionen $f_n(x)$ haben, die fast überall gegen eine Funktion $f(x)$ konvergiert, und wenn die Integrale $\int f_n(x) \, d\mu$ existieren und beschränkt sind, dann konvergiert $f_n(x)$ gegen $f(x)$ im Lebesgue-Sinn, und es gilt:

$\lim_{n \to \infty} \int f_n(x) \, d\mu = \int \lim_{n \to \infty} f_n(x) \, d\mu$

Berechnung von $\int_0^1 \frac{1}{x} \, dL^1(x)$

Die Funktion $f(x) = \frac{1}{x}$ ist nicht beschränkt, wenn $x$ sich 0 nähert. Daher würde man erwarten, dass das Integral über $[0,1]$ divergiert. Wir können den Wert dieses Integrals direkt auswerten, ohne eine Folge von Funktionen explizit zu definieren, denn der Satz von Beppo Levi garantiert im Wesentlichen, dass wir über die unbeschränkten Teile der Funktion integrieren können, wenn das Ergebnis wohldefiniert ist.

$\int_0^1 \frac{1}{x} \, dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_\epsilon^1 \frac{1}{x} \, dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} [\ln(x)]_{\epsilon}^1$

$= \lim_{\epsilon \to 0^+} (\ln(1) - \ln(\epsilon)) = \lim_{\epsilon \to 0^+} (-\ln(\epsilon)) = \infty$

Das Ergebnis zeigt, dass das Integral divergiert, was bedeutet, das Lebesgue-Maß von $f(x) = \frac{1}{x}$ über $X=[0,1]$ ist unendlich.

Berechnung von $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dL^1(x)$

Analog verfahren wir hier, um das Integral auszurechnen:

$\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_\epsilon^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} [2\sqrt{x}]_{\epsilon}^1$

$= \lim_{\epsilon \to 0^+} (2\sqrt{1} - 2\sqrt{\epsilon}) = 2(1 - 0) = 2$

Also ist das Lebesgue-Maß von $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ über $X=[0,1]$ gleich 2.

Der Satz von Beppo Levi hilft uns in beiden Fällen zu verstehen, wie die Integration von Funktionen, die an bestimmten Stellen unbeschränkt sind, im Kontext des Lebesgue-Integrals behandelt wird. Insbesondere im zweiten Fall war der Satz hilfreich, um die Konvergenz des Integrals trotz der Singularität bei $x=0$ schlüssig darzulegen.