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Volumenberechnung mittels Vektoren und Lebesgue-Maß
Um das Volumen \( \lambda^{4}(P) \) der durch die Vektoren \( v_1, v_2, v_3, v_4 \) im \(\mathbb{R}^4\) aufgespannten Parallelepipeds (eine Verallgemeinerung des Quaders im vierdimensionalen Raum) zu berechnen, nutzen wir die Determinante der Matrix, die aus diesen Vektoren als Spalten gebildet wird. Diese Methode folgt aus der linearen Algebra und dem Konzept der Volumenberechnung im mehrdimensionalen Raum.
Die gegebenen Vektoren sind:
\( v_1 = (1,2,0,0) \)
\( v_2 = (1,2,3,0) \)
\( v_3 = (1,2,3,4) \)
\( v_4 = (5,-1,0,0) \)
Die Menge \(P\) ist beschrieben als die Menge aller Linearkombinationen dieser Vektoren, wobei die Koeffizienten \(t_i\) zwischen 0 und 1 liegen. Dies bildet ein Parallelepiped im \(\mathbb{R}^4\).
Schritt 1: Matrix aufstellen
Zunächst bilden wir eine Matrix \(A\), die diese Vektoren als Spalten enthält:
\( A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 5 \\
2 & 2 & 2 & -1 \\
0 & 3 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 4 & 0
\end{pmatrix} \)
Schritt 2: Determinante berechnen
Das Volumen \( \lambda^{4}(P) \) ist gleich dem Betrag der Determinante dieser Matrix \(A\). Das bedeutet, wir müssen die Determinante von \(A\) berechnen.
Nutzen wir die Regel von Sarrus oder die Entwicklung nach der ersten Spalte, bemerken wir allerdings, dass diese Regeln im \(\mathbb{R}^4\) nicht direkt anwendbar sind. Wir müssen also eine andere Methode nutzen, üblicherweise die Laplacesche Entwicklung oder direkt das Berechnen über elementare Zeilenoperationen, um die Matrix auf eine einfachere Form (z.B. eine obere Dreiecksmatrix) zu bringen und dadurch die Determinante bestimmen zu können.
Die Determinante von \(A\) ist:
\( \det(A) = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & 5 \\
2 & 2 & 2 & -1 \\
0 & 3 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 4 & 0
\end{vmatrix} \)
Da die Matrix bereits in einer Form ist, die es einfach macht, die Determinante zu berechnen (indem man die Determinante als Produkt der Diagonalelemente einer oberen Dreiecksmatrix ansieht):
\( \det(A) = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\)
Schlussfolgerung:
Das Volumen \( \lambda^4(P) \) des Parallelepipeds, das von den gegebenen Vektoren im \(\mathbb{R}^4\) aufgespannt wird, ist der Betrag der Determinante der Matrix \(A\), also
\( \lambda^4(P) = |\det(A)| = |24| = 24 \)
Damit ist das Volumen des durch die Vektoren beschriebenen vierdimensionalen "Quaders" \(24\).
