Differenzialrechnung Ableitung: Schwerpunkt einer Dose mit Getränk

Question

Aufgabe:

Eine vertikal stehende Getränkedose hat die Form eines
geraden Zylinders. Die Dose hat eine Höhe von 15 cm.
Die Dose ist zum Teil mit Flüssigkeit gefüllt.
Die Funktion für die Höhe des Schwerpunkts S der bis
zur Höhe x über dem Dosenboden mit Flüssigkeit
gefüllten Dose ist
f(x)=1/2x-1/2+8/(x+1)

b) Erläutern Sie kurz, warum die Werte für h(0) und h(15) plausibel sind.
c) Bestimmen Sie die Flüssigkeitshöhe, bei der die Höhe des Schwerpunkts
minimal ist.
d) Betrachten Sie eine weitere vertikal stehende Getränkedose, die ebenfalls die
Form eines geraden Zylinders hat. Nehmen Sie an, dass die Funktion für die
Höhe des Schwerpunkts Sk(x)=1/2x+a+b/(x+1)
ist, wobei a b, ∈R sind und x die
Höhe der Flüssigkeit über dem Dosenboden ist. Bestimmen Sie a und b für eine Dose der Höhe 11 cm

Problem/Ansatz:

Also ich versteh nur Bahnhof bei der b)

Bei der c) denke ich mal f '(x)=0

d) Ist eventuell Nebenbedingung?

Lösung:

b) Schwerpunkt auf halber Höhe der Dose
c) x = 3 Minimum
d) a = -0,5, b = 6

Answer 1

f(x)=1/2x-1/2+8/(x+1)

b) Erläutern Sie kurz, warum die Werte für h(0) und h(15) plausibel sind.

Sind f und h dasselbe?

Was genau ist x?

Comments

Also ich versteh nur Bahnhof bei der b)

Wenn die Büchse voll ist, befindet sich der Schwerpunkt des Dose aus Symmetriegründen in der Mitte der Dose, also auf der Höhe h = 7.5 cm.

x ist vielleicht die Höhe des Wasserstandes in der Dose. Dann müsste aus Symmetriegründen eine leere Dose und eine volle Dose den Schwerpunkt auf der Höhe 7.5 cm haben.

Meine Version der Fragestellung bei b)

b) Erläutern Sie kurz, warum die Werte für Höhe x =0 und Höhe x=15 plausibel sind.

Dann wäre nötig: h(0) = h(15) = 7.5 cm

Answer 2

b) Erläutern Sie kurz, warum die Werte für h(0) und h(15) plausibel sind.

Die Höhe des Schwerpunktes bei leerer wie bei voller Dose ist gleich, f(0) = 7,5 und f(15) = 7,5

c) Bestimmen Sie die Flüssigkeitshöhe, bei der die Höhe des Schwerpunkts minimal ist. Bei der c) denke ich mal f '(x)=0

Das ist richtig.

Bestimmen Sie a und b für eine Dose der Höhe 11 cm

Du weißt aus b), dass leere und volle Dose die gleiche Schwerpunkthöhe haben.

Also gilt f(0) = f(11) = 5,5

$$f(0) = \frac{1}{2}\cdot 0 +a+\frac{b}{0+1}=a+b⇒a + b = 5,5\\ f(11) = \frac{1}{2}\cdot 11 +a+\frac{b}{11+1}=5,5+a+\frac{b}{12}⇒5,5+a+\frac{b}{12}=5,5\\ $$

Nun hast du ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen, das zu lösen ist.

Gruß, Silvia