Wie müssen Radius u. höhe gewählt werden, damit zur Herstellung möglichst wenig Blech gebraucht wird

Question

Eine Blechdose in Form eines senkrechten Kreiszylinders fasst 5dm³.

wie müssen Radius und höhe gewählt werden, damit zur Herstellung möglichst wenig Blech gebraucht wird? Die Wandstärke bleibt unberücksichtigt.

Comments

Ich hoffe, dass du damit https://www.mathelounge.de/58437/extremalwertaufgabe-funktionen-minimalem-materialverbrauch

schon mal was anfangen kannst.

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Volumen des Zylinders =

I. V = π * r² * h = 5 dm³

Blechverbrauch = Oberfläche des Zylinders =

II. O = 2 * π * r² (das sind die beiden Kreise oben und unten) + 2 * π * r * h (das ist die Mantelfläche)

O ist zu minimieren. 

 

Wir können nach I. h ausdrücken als

h = 5 dm³ / (π * r²)

 

Dann wird II. zu

2 * π * r² + 2 * π * r * 5 / (π * r²)

Das ist dann die zu minimierende Funktion: 

f(r) = 2 * π * r² + 2 * π * r * 5 / (π + r²)

1. Ableitung bilden und = 0 setzen, das gefundene Ergebnis für r in 2. Ableitung einsetzen. 

Falls 2. Ableitung dieses Ergebnisses > 0, liegt ein Minimum vor. 

 

Besten Gruß

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mein Problem ist ab der Ableitung. Bis dahin bin ich auch gekommen aber ab dem Ableiten weiß ich nicht mehr weiter.

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f(r) = 2πr² + 10πr / (π+r²)

Summenregel: 

f'(r) = (2πr²)' + [(10πr / (π+r²)]'

(2πr²)' = 4πr

[(10πr / (π+r²)]'

Quotientenregel: (u/v)' = (u'v - uv') / v²

u = 10πr

u' = 10π

v = π+r²

v' = 2r

v² = (π+r²)²

 

Insgesamt also: 

f'(r) = 4πr + [10π(π+r²) - 10πr(2r)]/(π+r²)²

 

Der Rest ist viel Rechenarbeit :-(

Answer 1

Ich führe mal die Berechnung rein mit Variablen durch.

Nebenbedingung: 

V = pi·r^2·h
h = V/(pi·r^2)

Hauptbedingung:

O = 2·pi·r^2 + 2·pi·r·h   | Nebenbedingung einsetzen
O = 2·pi·r^2 + 2·pi·r·V/(pi·r^2)
O = 2·pi·r^2 + 2·v/r

O' = 4·pi·r - 2·v/r^2 = 0
r = ³√(V/(2·pi))

h = V/(pi·r^2) = ³√(4·V/pi) = 1/2·r

Es gilt also für die kleinste Oberfläche 2·r = h

Um r bzw. h auszurechnen braucht man nur das Volumen V in die oberen Gleichungen einsetzen. Ich erspare mir das. ebenso erspare ich mir die hinreichende Bedingung zu testen.

Comments

Aber eins ist mir immer noch nicht klar, wie kommst du auf r = ³√(V/(2·pi))

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Löse dazu

4·pi·r - 2·v/r² = 0 

nach r auf. Tipp. Wir müssen hier zuerst mit r^2 multiplizieren.