Lineare Abbildung: Ist f injektiv, so gilt Kern(g)=Kern(f°g)

Question

Aufgabe:

Ich habe versucht obige Implikation zu zeigen, komme aber an einer Stelle (unten beschrieben) nicht weiter.

$$ \text{Sei } \mathbb{K} \text{ ein Körper, }V \text{ ein } \mathbb{K}\text{-Vektorraum und }f,g:V\rightarrow V \text{ lineare Abbildungen. Dann gilt:}\\ \text{Ist }f \text{ injektiv, so ist } Kern(g)=Kern(f\circ g). $$

Beweis:

$$ Kern(g)\subseteq Kern(f\circ g) $$ habe ich schon gezeigt. Bleibt also noch $$ Kern(f\circ g)\subseteq Kern(g) $$

$$ \text{Seien } v_1,v_1\in Kern(f \circ g). \text{ Dann gilt } f(g(v_1))=0_v \text{ und } f(g(v_2))=0_v, \text{ also } \\f(g(v_1))=f(g(v_2)) \stackrel{\text{f injektiv}}{\Rightarrow} g(v_1)=g(v_2) \Leftrightarrow g(v_1-v_2)=g(v_1)-g(v_2)=0_v.\\\text{Also gilt } (v_1-v_2)\in Kern(g).$$

Problem:

Wie kann ich jetzt begründen, dass auch $$ v_1, v_2 \in Kern(g) $$ gültig ist?

Answer 1

Die Inklusion \( Kern(g) \subseteq Kern(f\circ g) \) ist trivial.

Für die andere Richtung \( Kern(g) \supseteq Kern(f\circ g) \):

Sei \( x \in Kern(f\circ g) \), dann ist \( f(g(x)) = 0 \), insbesondere also \( g(x) \in Kern(f) = \{ 0 \} \) (die Gleichung gilt, da f injektiv ist), d.h. \( g(x) = 0 \) und somit \( x \in Kern(g) \). \( \square \)

Comments

Die Gleichheit Kern(f)={0} leuchtet ein, aber warum gilt g(x)∈Kern(f) ?

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Da

$$ y \in Kern(f) \Longleftrightarrow f(y) = 0 $$

mit \( y = g(x) \) gilt ja

$$ f(g(x)) = f(y) = 0 $$

und somit eben \( g(x) = y \in Kern(f) \)

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Danke, ich war blind bzw. zu sehr vom Begriff der Injektivität geblendet, sodass ich die Äquivalenz (y∈Kern(f) <=> f(y)=0 ) nicht bedacht habe. Danke vielmals! :)

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Mit deinem Ansatz funktioniert das allerdings auch, wenn du \( v_2 = 0 \) wählst. Das ist ja sicherlich im Kern.

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Hallo,

dürfte man die Richtung ker(f \circ g) \supset ker(g) so zeigen?

Sei $$v \in Ker(g)$$ d.h. $$g(v)=0$$ und mit $$ker(f(g(v))$$ gilt $$f(g(v))=0$$ D.h. $$g(v)\subseteq ker(f \circ g)$$
D.h. insgesamt gilt $$ker(g)\subseteq ker(f \circ g)$$

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\( \ker(f (g(v))\)

Kern von einem Vektor?

\(f(g(v))=0\)

Warum? (Das ist alles was hier zu zeigen ist)

\(g(v)\subseteq \ker(f \circ g)\)

Ein Vektor ist eine Teilmenge?

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Sei \( v\in\ker g \), d.h. \( g(v)=0\)

Jetzt begründe, dass \( f (g (v))= 0\).

Dann gilt \( v \in\ker f\circ g\).

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Danke für deine Antwort:) Wäre es so besser?

mit f(g(v))=0 folgt dass g(v) ∈ ker(f), d.h. g(v)=0 und insgesamt gilt ker(g)⊆ker(f∘g)

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mit f(g(v))=0 folgt dass g(v) ∈ ker(f), d.h. g(v)=0

Das ist jetzt die andere Inklusion.

Wenn v im Kern von g ist, dann ist g(v)=0.

Warum muss dann auch f(g(v))=0?

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Danke nochmal, ich dachte, weil g ∈ ker f ist, müsste das automatisch folgen.

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Eine Abbildung liegt doch aber nicht im Kern einer anderen? Der Kern besteht nur aus Vektoren.

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mmmh, ja das macht Sinn. Könnte man denn sagen, dass im(g)∈ker(f) ist und deshalb f(g(v))=0?

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Du denkst viel zu kompliziert ;)

(Das Bild kann höchstens eine Teilmenge des Kerns sein, aber kein Element)

Wenn v im Kern von g ist, dann ist g(v)=0.

Also f(g(v))=f(0). Warum ist f(0)=0?

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Danke für die Antwort:) Weil es sich bei f um eine lineare Abbildung handelt?

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Richtig, jetzt hast du s schon.

\( v \in \ker g \implies g (v)=0\implies f (g (v))=0 \implies v \in \ker f\circ g\)

Da v beliebig also \( \ker g \subseteq \ker f\circ g\)

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Ok, vielen lieben Dank für deine Hilfe :D