Bezüglich deiner Ordungsrelationen gilt doch:
Sind a,b natürliche Zahlen, dann ist a inf {a,b} = ggT(a,b) und sup {a,b} = kgV(a,b}
Sind A,B Mengen dann ist, inf {A,B} = A∩B und sup {A,B} = A∪B
du musst also zeigen h(ggT(a,b)) = h(A)∩h(B). Zu zeigen sind zwei Inklusionen
für x in h(ggT(a,b)) gilt ja x teilt ggT(a,b). Da aber ggT(a,b) ein Teiler von a und b ist, ist x Teiler von a und b und somit liegt x in h(A) und h(B) also auch in h(A)∩h(B).
für x in h(A)∩h(B) ist x Teiler von a und Teiler von b also ein gemeinsamer Teiler und somit auch Teiler von ggT(a,b) nach Definition des größten gemeinsamen Teilers.
Ganz analog h(kgV(a,b)) = h(sup {a,b}) = sup {h(a),h(b)} = h(a) ∪ h(b)