Erstmal gilt: Sind \(X, \widetilde{Y}\) topologische Räume und \(Y := \widetilde{Y}^n\) mit der Produkttopologie versehen, dann ist eine Abbildung \( f : X \rightarrow Y \) genau dann stetig, wenn die Komponentenfunktionen \( f_i : X \to \widetilde{Y}, x \mapsto (q_i \circ f)(x) \) stetig sind. Dabei ist \( q_i : Y \to \widetilde Y \) die i-te Projektion.
Die euklidische Topologie auf \( \mathbb{R}^2 \) ist glücklicherweise die Produkttopologie auf \( \mathbb{R} \times \mathbb{R} \), wobei \( \mathbb{R} \) hier ebenfalls die euklidischen Topologie trage.
Das heißt, wenn du zeigen willst, dass \( f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \) stetig ist, reicht es zu zeigen, dass die Komponentenfunktionen
$$ f_1 : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, (x,y) \mapsto x^2+y\sin(x) $$
$$ f_2 : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, (x,y) \mapsto y^3 -\sin\left(e^{x+y}\right) $$
stetig sind. Und als Summe, Produkt und Komposition von stetigen Funktionen sind sie das.
