Als Summenzeichen ausschreiben jedoch mit abwechselndem Vorzeichen.

Question

Aufgabe:

$$ \begin{array}{c}{\text { a) Schreiben Sie mit dem Summenzeichen: }} \\ {\text { (i) } \frac{1}{2 \cdot 4}+\frac{1}{4 \cdot 6}+\ldots+\frac{1}{2 n \cdot 2(n+1)}} \\ {\text { (ii) } 1-\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}-\frac{1}{4^{2}}+-\ldots-\frac{1}{100^{2}}}\end{array} $$

Problem/Ansatz:

bei (i) Habe ich $$\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2n*2(n+1)}$$

bei (ii) haben wir jedoch eine +- Folge, muss ich 2 Summen haben?

Comments

Wie wärs mit (-1)ⁱ als „Vor“faktor?

Answer 1

(i) fast richtig. Die Laufvariable ist aber \(i\) nicht \(n\)

$$ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2i*2(i+1)} $$

Bei (ii)

$$ 1-\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}-\frac{1}{4^{2}}+\ldots-\frac{1}{100^{2}} \\= \frac{1}{1^2}-\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}-\frac{1}{4^{2}}+\ldots-\frac{1}{100^{2}} \\= (-1)^0\frac{1}{1^2}+(-1)^1\frac{1}{2^{2}}+(-1)^2\frac{1}{3^{2}}+(-1)^3\frac{1}{4^{2}}+\ldots+(-1)^{99}\frac{1}{100^{2}} \\= \sum_{i=1}^{100} (-1)^{i-1}\frac{1}{i^2} $$

Answer 2

Eine alternierende Folge versieht man hinter dem Summenzeichen mit dem Faktor (-1)ⁿ oder (-1)^n-1.