Waagerechte Tangenten an Graphen. Gilt immer - gilt nie - es kommt drauf an?

Question

Aufgabe:

1) Haben die Graphen der Funktion f und g an der Stelle x0 eine waagerechte Tangente, so hat auch der Graph von f*g an der Stelle x0 eine waagerechte Tangente

2) Wenn g'(x) = -g(x) füe eine Stelle x0 gilt, dann hat die Funktion f(x)=g(x)*e^x bei c0 eine Extremstelle.

3) Wenn weder der Graph von u noch der Graph von v eine Waagerechte Tangente besitzt, so hat auch der Graph f(x)=u(x)*v(x) keine waagerechte Tangente.

4) Wenn der Graph einer Funktion f die x-Achse im Punkt P(2/0) berührt, dann berührt der Graph der Funktion g mit g(x)=x*f(x) die x-Achse ebenfalls im Punkt P

Problem/Ansatz:

1) Ich würde hier sagen das es auf die Funktionen ankommt. Leider habe ich aber keine Begründung.

2) Gilt immer: Annahme in der ersten Ableitung ergibt Null

3) Kommt drauf an, da es von der Dimension der Funktion abhängig ist

4) Gilt immer

    Annahme: f(x) und f'(x) sind gleich Null

Durch Einsetzen der Annahme bestätigt sich sie Aussage

Answer 1

1) Haben die Graphen der Funktion f und g an der Stelle x0 eine waagerechte Tangente,

==>    f ' (xo) = 0   und g ' (xo) = 0

Das Produkt f*g hat bei xo die Ableitung f(xo)*g ' (xo) + g( xo) * f ' (xo)

                                 hier also f(xo) * 0 + g(xo) * 0 also ist das 0.

==>   f*g hat bei xo waagerechte Tangente.   Gi8lt also immer !

2)  f(x)=g(x)*e^x  hat die Ableitung f ' (x) = g(x) * e^x + g ' (x) * e^x = ( g(x)+g'(x))* e^x

Wenn g'(x) = -g(x) für eine Stelle xo gilt, dann hat die Klammer den Wert 0,

also hat f an der Stelle die Ableitung 0.

Ob das dann eine Extremstelle ist ?  kann sein.

3) Kann sein, etwa bei u(x)=e^x und v(x)=e^x

kann aber auch nicht sein, etwa u(x)=x und v(x)=x.

4) Wenn der Graph einer Funktion f die x-Achse im Punkt P(2/0) berührt,

==>  f(2)=0  und f ' (2) = 0

Es ist  g(x)=x*f(x)  und g ' (x) = 1*f(x) + x * f ' (x)

also g(2) = 2* f(2) = 2*0 = 0

und g ' (2) = 1*f(2) + 2* f ' (2)

                 =   1*0  +  2*0 = 0

also gilt g(2)=0 und g ' (2) = 0 , also

berührt der Graph von g die x - Achse in P

Answer 2

1) Ich würde hier sagen das es auf die Funktionen ankommt. Leider habe ich aber keine Begründung.

Benutze die Produktregel

[f(x) * g(x)]' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)

Wenn f'(x0) = 0 und g'(x0) = 0 ist, dann ist die obige Ableitung an der Stelle x0 sicher auch 0 oder?

Du solltest schon versuchen eine Begründung mit Hilfe der Ableitungsregeln zu finden.

Comments

2) Wenn g'(x) = -g(x) füe eine Stelle x0 gilt, dann hat die Funktion f(x)=g(x)*ex bei c0 eine Extremstelle.

f(x) = g(x) * e^x

f'(x) = g'(x) * e^x + g(x) * e^x = (g'(x) + g(x)) * e^x = (-g(x) + g(x)) * e^x = 0 * e^x = 0

Die notwendige Bedingung wäre erfüllt, aber muss das jetzt wirklich eine Extremstelle sein oder könnte es auch eine Sattelstelle sein. Das kann man denke ich nicht sagen. Es kommt also darauf an.

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Vielen Dank für die schnelle Antwort