Bestimmen Sie die fehlenden Koordinaten so, dass die Vektoren a, b und c paarweise zueinander orthogonal sind

Question

a=(1/0/2) b=(3/b2/b3) c=(c1/1/4)

Nun habe ich ausgerechnet:

(1/0/2)*(c1/1/4)=0

1*c1+0*1+2*4=-8

-8=c1

Dann das Kreuzprodukt gibt (-2/-20/1)

Nun verstehe ich aber nicht wie mein Lehrer auf die -2/3 kommt?

(-2/-20/1) - 2/3* (3/b2/b3)= ?

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Ich denke, dass er sich verschrieben hat und -3/2 meint.

Answer 1

Das sind hier 3 kleine einfache Gleichungssysteme.

[1, 0, 2]·[c1, 1, 4] = 0 --> c1 = -8

[1, 0, 2]·[3, b2, b3] = 0 --> b3 = -1.5

[-8, 1, 4]·[3, b2, -1.5] = 0 → b2 = 30

Comments

Ich denke, dass er sich verschrieben hat und -3/2 meint.

Ich denke 2/3 ist richtig. Denke nur es müsste

[-2, -20, 1] + 2/3·[3, b2, b3] = [0, 0, 0]

lauten. Oder aber

[-2, -20, 1] = -2/3·[3, b2, b3]

Aber das der Lehrer seine Lösungen nicht ganz so genau nimmt, hat man ja schon an einer anderen Aufgabe gesehen.

Dumm dass die Schüler es nur ordentlich lernen sollen.

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Wie geht das mit der Aufgabe a=(1/1/1) b=(b1/b2/1) und c=(c1/2/-5)

Weil ich habe jetzt c1=3 rausbekommen aber wenn ich dann diese einsetze habe ich ja dennoch b1 und b2 die fehlen.

Mein Lehrer hat dann die Kreuzproduktregel angewendet von a und c und das gab dann -7/8/-1.

Aber dann hat er (-7/8/-1) 1/-1*(b1/b2/1)= 7/-8/1 bekommen aber meine Frage nun wie kommt er auf 1/-1?

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[1, 1, 1]·[c1, 2, -5] = 0 → c1 = 3

[1, 1, 1]·[b1, b2, 1] = 0 → b1 + b2 = -1

[3, 2, -5]·[b1, b2, 1] = 0 --> 3·b1 + 2·b2 = 5

Du hast jetzt also ein lineares Gleichungssystem mit 2 Unbekannten was du lösen kannst. Hier kannst du jetzt auch einfach das Kreuzprodukt nehmen.

[1, 1, 1] ⨯ [3, 2, -5] = [-7, 8, -1]

-1·[-7, 8, -1] = [7, -8, 1] = [b1, b2, 1]

b1 = 7 ; b2 = -8

Schau mal ob du das auch beim linearen Gleichungssystem heraus bekommst.

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von wo kommst du auf diese -1·[-7, 8, -1] = [7, -8, 1] = [b1, b2, 1]

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Jedes Vielfache des Kreuzproduktes ist ein Normalenvektor. Damit kann ich das Kreuzprodukt nachher mit jeder beliebigen Zahl (≠ 0 natürlich) multiplizieren.

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aber wie kommst du auf die -1?

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k·[-7, 8, -1] = [b1, b2, 1]

Aus der dritten Zeile ergibt sich

k·(-1) = 1

Was muss dann k sein?

k = 1/(-1) = -1

Damit muss ich es also mit -1 multiplizieren.