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OrthogonalitÀt unter Verwendung eines orthonormierten Basissystems
Um die Frage zu beantworten, wird zunĂ€chst erklĂ€rt, was OrthogonalitĂ€t und orthonormierte Basissysteme bedeuten, und anschlieĂend, wie man die Bedingung fĂŒr die OrthogonalitĂ€t zwischen zwei Vektoren \( \mathbf{a} \) und \( \mathbf{b} \) bestimmt, vor allem wenn einer der Vektoren einen unbekannten Skalar \( s \) enthĂ€lt. Da in deiner Frage die spezifischen Komponenten der Vektoren \( \mathbf{a} \) und \( \mathbf{b} \) nicht angegeben sind, werden die Schritte allgemein erklĂ€rt.
OrthogonalitÀt und orthonormierte Basissysteme
Zwei Vektoren sind orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt \(0\) ist. FĂŒr zwei Vektoren \( \mathbf{a} \) und \( \mathbf{b} \) im \( \mathbb{R}^n \) ist das Skalarprodukt definiert als:
\(
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n
\)
wobei \( \theta \) der Winkel zwischen den Vektoren ist. Wenn \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 \), dann ist \( \theta = 90^\circ \) und die Vektoren sind orthogonal.
Ein Basissystem wird als
orthonormiert bezeichnet, wenn es orthogonal ist (d. h., alle Basisvektoren stehen senkrecht zueinander) und jedes Element der Basis die LĂ€nge \(1\) hat (normiert). Ein Beispiel dafĂŒr ist die Standardbasis des \( \mathbb{R}^3 \), bestehend aus den Vektoren \( \mathbf{e}_1 = (1, 0, 0) \), \( \mathbf{e}_2 = (0, 1, 0) \), \( \mathbf{e}_3 = (0, 0, 1) \).
Berechnung von \( s \) fĂŒr OrthogonalitĂ€t
Da keine spezifischen Vektoren angegeben wurden, nehmen wir allgemein an, dass \( \mathbf{a} \) und \( \mathbf{b} \) folgende Form haben:
\(
\mathbf{a} = (a_1, a_2, ..., a_n)
\)
\(
\mathbf{b} = (b_1, b_2, ..., b_n)
\)
Wenn einer dieser Vektoren \( s \) enthÀlt, zum Beispiel in der Form:
\(
\mathbf{a} = (a_1, s, a_3, ..., a_n)
\)
und \( \mathbf{b} \) bekannt ist, dann können Sie \( s \) finden, indem Sie das Skalarprodukt auf \(0\) setzen:
\(
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + sb_2 + a_3b_3 + ... + a_nb_n = 0
\)
Lösen Sie nach \( s \) auf:
\(
s = -\frac{a_1b_1 + a_3b_3 + ... + a_nb_n}{b_2}
\)
Zur Bedeutung des orthonormierten Basissystems
Das orthonormierte Basissystem spielt eine Rolle in der Vereinfachung des Rechnens mit Vektoren, insbesondere bei der Berechnung von Skalarprodukten, da es direkt angibt, wie die Vektorkomponenten zu interpretieren sind. In dieser Aufgabe hilft das VerstĂ€ndnis von OrthonormalitĂ€t zu erkennen, dass das Skalarprodukt tatsĂ€chlich die korrekte Methode zur ĂberprĂŒfung der OrthogonalitĂ€t ist, unabhĂ€ngig vom spezifischen Basissystem, solange dieses orthonormiert ist.
Zum Abschluss ist es wichtig zu erwĂ€hnen, dass ohne spezifische Werte oder Beschreibungen der Vektoren \( \mathbf{a} \) und \( \mathbf{b} \) die genaue Berechnung von \( s \) nicht möglich ist. Die angegebenen Schritte bieten jedoch einen allgemeinen Lösungsweg fĂŒr derartige Probleme.