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Orthogonalität unter Verwendung eines orthonormierten Basissystems
Um die Frage zu beantworten, wird zunächst erklärt, was Orthogonalität und orthonormierte Basissysteme bedeuten, und anschließend, wie man die Bedingung für die Orthogonalität zwischen zwei Vektoren \( \mathbf{a} \) und \( \mathbf{b} \) bestimmt, vor allem wenn einer der Vektoren einen unbekannten Skalar \( s \) enthält. Da in deiner Frage die spezifischen Komponenten der Vektoren \( \mathbf{a} \) und \( \mathbf{b} \) nicht angegeben sind, werden die Schritte allgemein erklärt.
Orthogonalität und orthonormierte Basissysteme
Zwei Vektoren sind orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt \(0\) ist. Für zwei Vektoren \( \mathbf{a} \) und \( \mathbf{b} \) im \( \mathbb{R}^n \) ist das Skalarprodukt definiert als:
\(
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n
\)
wobei \( \theta \) der Winkel zwischen den Vektoren ist. Wenn \( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 \), dann ist \( \theta = 90^\circ \) und die Vektoren sind orthogonal.
Ein Basissystem wird als
orthonormiert bezeichnet, wenn es orthogonal ist (d. h., alle Basisvektoren stehen senkrecht zueinander) und jedes Element der Basis die Länge \(1\) hat (normiert). Ein Beispiel dafür ist die Standardbasis des \( \mathbb{R}^3 \), bestehend aus den Vektoren \( \mathbf{e}_1 = (1, 0, 0) \), \( \mathbf{e}_2 = (0, 1, 0) \), \( \mathbf{e}_3 = (0, 0, 1) \).
Berechnung von \( s \) für Orthogonalität
Da keine spezifischen Vektoren angegeben wurden, nehmen wir allgemein an, dass \( \mathbf{a} \) und \( \mathbf{b} \) folgende Form haben:
\(
\mathbf{a} = (a_1, a_2, ..., a_n)
\)
\(
\mathbf{b} = (b_1, b_2, ..., b_n)
\)
Wenn einer dieser Vektoren \( s \) enthält, zum Beispiel in der Form:
\(
\mathbf{a} = (a_1, s, a_3, ..., a_n)
\)
und \( \mathbf{b} \) bekannt ist, dann können Sie \( s \) finden, indem Sie das Skalarprodukt auf \(0\) setzen:
\(
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + sb_2 + a_3b_3 + ... + a_nb_n = 0
\)
Lösen Sie nach \( s \) auf:
\(
s = -\frac{a_1b_1 + a_3b_3 + ... + a_nb_n}{b_2}
\)
Zur Bedeutung des orthonormierten Basissystems
Das orthonormierte Basissystem spielt eine Rolle in der Vereinfachung des Rechnens mit Vektoren, insbesondere bei der Berechnung von Skalarprodukten, da es direkt angibt, wie die Vektorkomponenten zu interpretieren sind. In dieser Aufgabe hilft das Verständnis von Orthonormalität zu erkennen, dass das Skalarprodukt tatsächlich die korrekte Methode zur Überprüfung der Orthogonalität ist, unabhängig vom spezifischen Basissystem, solange dieses orthonormiert ist.
Zum Abschluss ist es wichtig zu erwähnen, dass ohne spezifische Werte oder Beschreibungen der Vektoren \( \mathbf{a} \) und \( \mathbf{b} \) die genaue Berechnung von \( s \) nicht möglich ist. Die angegebenen Schritte bieten jedoch einen allgemeinen Lösungsweg für derartige Probleme.
