Zeigen, dass sinx = x/2 genau drei Lösungen in R hat?

Question

Aufgabe:

sinx = x/2

(a) Beweisen Sie, dass diese Gleichung mindestens eine Lösung im Intervall [π/2, π] hat.
(b) Beweisen Sie, dass diese Gleichung genau drei Lösungen in R hat.

Problem/Ansatz:

Die a hab ich mit dem ZWS schon gelöst. Jedoch komme ich bei b leider nicht weiter

Comments

Die Antworten zu deiner gestrigen Frage sollten dir eigentlich ein grosses Stück weiterhelfen. Hier nochmals der Link dorthin:

https://www.mathelounge.de/615776/zeigen-dass-g-x-x-2-12-ln-x-1-5-genau-2-nullstellen-hat

Answer 1

Ab der Stelle x=2 sind die Werte von 2x größer als 1 und damit größer als jeder mögliche Sinuswert. Es kann also keine Lösungen für x>2 geben (auch nicht für x<-2).

Answer 2

Hi :)

x=0 ist sofort Lösung.

Zwischenwertsatz auf [0, 2 pi] und [-2pi, 0] liefert die anderen. Du kannst natürlich auch gleich sagen, dass Sinus ungerade ist. Dass das alle sind folgt zB mit Satz von Rolle.

LG

Answer 3

-1≤sin(x)≤1

D.h. im Schnittpunkt muss auch -1≤x/2≤1 gelten,also -2≤x≤2

sin(x)=x/2 ⇔ 2sin(x)-x=0

Eine Nullstelle von f(x)=2sin(x)-x findet man im Newton-Verfahren knapp unterhalb 1,9

π/2<1,9<2

Einen weiteren Schittpunkt kann es im Intervall [π/2, π]  nicht geben (sin(x) ist rechtsgekrümmt, x/2 hat keine Krümmung).

Der Schnittpunkt (0|0) ist evident.

Aus Symmetriegründen gibt es in der Nähe von x= -1,9 einen dritten Schnittpunkt.