Anwendung des Zwischenwertsatz um Anzahl von Lösungen der Gleichung x^6 = 5 zu bestimmen.

Question

Aufgabe:

Wende den Zwischenwertsatzes an, um zu zeigen, dass die Gleichung x⁶ = 5 in den reellen Zahlen genau 2 Lösungen hat.

Problem/Ansatz:

Ich bin bis jetzt folgendermaßen vorgegangen:

Zunächst habe ich die Hilfsfunktion h: ℝ → ℝ, h(x) = 5 - x⁶ gebildet.

Diese Funktion müsste ja stetig sein, da sie aus der Differenz der stetigen Funktionen x ↦ 5 und x ↦ x⁶ besteht.

Des Weitern muss gelten h(0) = 5 - 0 = 5 > 0 und h(2) = 5 - 2⁶ = 5 - 64 = -59 < 0.

Nach dem Nullstellensatz müsste es also ein x' ∈ ℝ geben mit h(x') = 5 - x'⁶ = 0. Für dieses x' müsste also x'⁶ = 5 gelten, somit also obige Gleichung lösen. 

Nun müsste ich eine Fallunterscheidung vornehmen, bin mir allerdings nicht sicher, wie ich hier am besten vorgehen könnte und stehe etwas auf dem Schlauch. Hab noch nicht so viel Erfahrung mit der Anwendung des Zwischenwertsatz.

Sind meine bisherigen Überlegungen korrekt? Würde mich über Hilfe sehr freuen.

Answer 1

Untersuche das Intervall ]-∞ ; 0] und das Intervall [0 ; ∞[.

Im Intervall [0 ; ∞[ ist f(x) = x^6 streng monoton steigend und es gilt

f(0) = 0 und f(∞) = ∞

Damit muss es genau ein x geben bei dem Gilt f(x) = 5.

Mit dem anderen Intervall verfährt man analog.

Comments

Danke für die Antwort. In der Aufgabe steht aber das man den Zwischenwertsatz anwenden soll oder verstehe ich deine Antwort falsch. Bin noch nicht so ganz fit mit der Definition.

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Wie lautet denn der Zwischenwertsatz ?

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Seien a,b ∈ ℝ mit a < b und sei f:[a, b] → ℝ stetig. Für jedes y zwischen f(a) und f(b) existiert eine Zahl a  ≤ c ≤ b mit f(c) = y. Wichtig hierbei ist ja, dass die Funktion stetig sein muss (sonst nicht anwendbar), was ja bei der Funktion in der Aufgabe zutrifft. Was mich an der Aufgabe verwirrt ist allerdings, dass kein Intervall vorgegeben wurde. Habe bist jetzt noch keine Aufgaben zu dieser Problemstellung gelöst, sondern bis jetzt nur Aufgaben wo immer Intervalle vorgegeben wurden.

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Ich habe dir doch die Intervalle genannt die du betrachten kannst.