Anwendung Zwischenwertsatz

Question

Ich soll mit dem Zwischenwertsatz zeigen, dass folgende Gleichungen eine Lösung für x > 0 besitzen (ich stelle mal nur eine rein da es mir erst mal um die Idee geht wie ich diese Gleichungen lösen kann):

e^cos(x) - x³ = sin(x²)

Wenn mir jemand helfen könnte oder mir einen Ansatz zeigen könnte wäre ich sehr dankbar.

Answer 1

da es mir erst mal um die Idee geht wie ich diese Gleichungen lösen kann

Per Algebra gar nicht. Du sollst auch keine Lösung ausrechnen, sondern nur beweisen, dass es eine gibt. Schaffe dazu alles auf eine Seite, sodass die Gleichung die Form \(f(x)=0\) bekommt. Finde dann ein \(a\) mit \(f(a)<0\) und ein \(b\) mit \(f(b)>0\). Was folgt dann mit dem Zwischenwertsatz (falls man ihn anwenden kann)?

Comments

Also schreibe ich e^cos(x) - x³ - sin(x²) = 0, f(0,5) müsste >0 sein, f(1) <0. Das heißt das ich dann doch mindestens eine Nullstelle hab.

(falls man ihn anwenden kann)
das müsste laut Aufgabenstellung ja eigentlich immer gehen, wenn ich zeigen soll, dass es eine gibt 

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Der Zwischenwertsatz gilt nicht generell, sondern nur dann, wenn seine Voraussetzungen erfuellt sind. Beispiel: \(f(x)=1/x\). Es ist \(f(-1)=-1\) und \(f(1)=1\), aber \(f\) hat keine Nullstelle.

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Die Voraussetzung war das ein y₀ existiert sodass y₀ element [min{f(a),f(b)} , max{f(a),f(b)}] und ein x₀ zwischen a und b existiert sodass f(x₀) = y₀ , oder? 

Sry das ich mich hier gerade so dumm anstelle, ich weiß echt nicht wie ich das machen soll.

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Die wesentliche Voraussetzung lautet: \(f\) ist im Intervall \([a,b]\) stetig.

Fuer Deine erste Aufgabe wolltest Du \(a=\frac{1}{2}\) und \(b=1\) nehmen. Schoen. Sag noch dazu, dass \(f(x)=e^{\cos x}-x^3-\sin x^2\) im Intervall \([\frac{1}{2},1]\) stetig ist und begruende das. Dann hast Du zusammen mit \(f(\frac{1}{2})>0\) und \(f(1)<0\) (wenn es stimmt, ich habe es nicht nachgeprueft) den verlangten Nachweis erbracht: Es gibt ein \(x\in[\frac{1}{2},1]\) mit \(e^{\cos x}-x^3=\sin x^2\).

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Das Intervall müsste stimmen, aber wie genau kann ich begründen das die Funktion in diesem stetig ist? Also wie kann man das möglichst formal aufschreiben? 

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Die Funktionen \(x\mapsto x,\ x\mapsto e^x,\ x\mapsto\sin x\) und \(x\mapsto\cos x\) sind als stetig auf ganz \(\mathbb{R}\) bekannt. \(f\) entsteht aus denen durch Verkettung. Damit ist auch \(f\) auf ganz \(\mathbb{R}\) stetig.

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_für_Nicht-Freaks:_Komposition_stetiger_Funktionen

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Vielen vielen Dank für deine Hilfe :)

Frohes Neues noch ^^