Monotonie von f: (-1,1] -> R mit x -> x^2/(x+1) zeigen mit Intervall

Question

Aufgabe:

Monotonie von f: (-1,1] -> R mit x -> x^2/(x+1) zeigen  [nachträglich Klammern ergänzt] 

Problem/Ansatz:

Ich habe Ableitung gemacht:

f´(x)= (x^2+2x) / (x+1)^2

Ich weiß aber nicht wie weiter vorgehen. Könnt ihr bitte helfen?

Grüße Gregor

Comments

Habe nun fehlende Klammern um einen Nenner und einen Zähler ergänzt.

Erinnere dich an "Punkt- vor Strichrechnung".

Answer 1

setze bitte Klammern um die einzelnen Bruchterme.

Setzt du die Ableitung null, erhältst du \(x_1=-2, x_2=0\)

f''(0) bestätigt, dass es sich tatsächlich um eine lok. Extremstelle handelt.

Für das Intervall ]-1,1] ändert sich dort also das Monotonieverhalten.

Für das Intervall ]-1,0] gilt: monoton fallend (f'(a) < 0) , für [0,1] gilt: streng monoton steigend (f'(b) > 0).

Mit a ∈ ]-1,0] , b ∈ [0,1]

Comments

Setzt du die Ableitung null, erhältst du x1=−2,x2=0

Wie hast du das berechnet ?

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\(f'(x)= \dfrac{x (x + 2)}{(x + 1)^2} \rightarrow x(x+2)=0 \longrightarrow x=0 \vee x+2=0\)

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Und wie würde das mit Intervall (-inf, -1) aussehen?

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Das Prinzip ist das gleiche, wie ursprünglich.

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Also hier wird monton streng fallend ?

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Nur für ]-∞;2].

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ok, vertsehe.

Danke

Answer 2

Die ist über diesem Bereich nicht monoton

sondern von -1 bis 0 fallend und dann steigend.

~plot~ x^2 / (x+1) ~plot~

Answer 3

f'(x) = (x^2 + 2x) / (x + 1)^2 >= 0

Der Nenner ist ist eh immer positiv. Damit ist das Vorzeichen einfach nur vom Zähler abhängig.

x^2 + 2x = x(x + 2) ist eine Parabel mit den Nullstellen bei -2 und 0. Damit zwischen -2 und 0 sind die Werte negativ.

Daher

(-1 ; 0] streng monoton fallend

[0 ; 1] streng monoton steigend

Skizze

~plot~ x^2/(x+1) ~plot~

Comments

Wieso zählt die Null in beiden Fällen zum Intervall? An dieser Stelle wächst / fällt die Funktion doch nicht, sondern hat eine waagerechte Tangente.

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Monotonie ist nicht die Steigung an einer Stelle.

Merke: f(x) = x^3 ist streng monoton steigend über ganz R unabhängig davon das man an der Stelle x = 0 eine waagerechte Tangente hat.

Streng monoton steigend gilt wenn für alle a < b aus dem Intervall gilt f(a)< f(b) und damit kann ich doch auch die 0 als einen Wert nehmen.