Zweite Nullstelle bei allgemeiner Sinusfunktion über Identität bestimmen?

Question

Wer kennt die Antwort? 

Habe eine Aufgabe mit sin(2*x + 45°) - 0,9 = 0

Intervall 0 - 360°

 

Das erste Ergebnis konnte ich per Arkussinus einfach berechnen: 

sin(2*x + 45°) = 0,9

2*x + 45° = asin(0,9) 

2*x = asin(0,9) - 45°

2*x = 64,2° - 45°

x₁ = 9,6° (bzw. ≈ 0,168 PI)

 

Die Funktion hat aber noch eine zweite Lösung x₂ 

Wie komme ich jetzt von x₁ zu x₂ - kenne zwar die Identität: sin(x) = sin(180°-x), aber x ist hier ja (2*x + 45°) ???

 

Answer 1

Hier muss man eine geschickte Substitution durchführen.
Wenn sin(y)=sin(180°-y) gilt, ganz egal, welches y man einsetzt, dann kann man natürlich auch y=2x+45° einsetzen:

sin(2x+45°)=sin(180°-(2x+45°))=sin(135°-2x)

 

Das heißt, die zweite Nullstelle der Sinusfunktion liegt bei 135°-2*9.6°=115.8°.

Jetzt musst du nur noch 115.8° durch 45°+2x ausdrücken:

115.8°=45°+2x

2x=70.8°

x=35.4°