Kern Bild und Rang bestimmen

Question

Aufgabe:
Seien P₂ die Polynome vom Grad ≤ 2
Betrachte die Abbildung:
H: P₂ → P₂ : f → f'' - f'
Bestimme Kern(H), Bild(H) und Rang(H)

Problem/Ansatz:

Kern: Wenn ich x² betrachte, dann erhalte ich 2-2x=0 oder x = 1/2
Für x erhalte ich -x = 0. Also x = 0
Für 1 ist die Ableitung immer 0
Ker(H) = {1/2,0,1}

Nun habe ich ja die Basis x², x, 1 einfach gewählt. Ist diese Antwort Allgemeingültig für andere Basen oder muss man das Allgemeingültiger zeigen?

Answer 1

Für den Kern musst du doch schauen welche Polynome auf das

Nullpolynom abgebildet werden:

H(ax^2 + bx + c ) = -2ax + (2a-b)

Das gibt also das Nullpolynom genau dann, wenn a=0 und b=0.

Der Kern besteht also nur aus den konstanten Polynomen  0x^2 + 0x + c.

Und das Bild aus allen von der Form  -2ax + (2a-b)

Das sind aber alle vom Grad 1; denn wenn du m*x + n haben willst

nimmst du a und b so, dass gilt

   m=-2a   und n = 2a - b

also

   a = -m/2  und b = m+n .

Es ist also Rang = 2 und dim(Kern) = 1    Passt !

Basis vom Kern ist :    { 1  }

Basis vom Bild ist   { x  , 1 }  .