Berechnung einer Tangente anhand einer Parabel

Question

Aufgabe:

Eine Parabel f1(x)=-0,5x^2-2x+5 und eine Parabel f2(x)=a×(x-4)^2-1sind an den Punkten A (2/1) und B (0/5) durch eine Strecke verbunden.

Problem/Ansatz:

a) Zeige rechnerisch, dass die Gerade g, welche durch A und B verläuft, eine Tangente an f1 ist.

b) Die Gerade g sei auch eine Tangente an f2. Bestimme den Parameter a.

c) Berechne die Länge der Strecke AB, wenn die LE=100m ist.

Answer 1

A (2/1) und B (0/5)

g:   Steigung  m= (5-1) / ( 0-2) = -2

==>    g :     y = -2x + 5

 f1(x)=-0,5x^2-2x+5   Gleichsetzen

-2x + 5  = -0,5x^2-2x+5

<=> x=0  (einzige Lösung, also Tangente)

b)  a*(x-4)^2-1 = -2x + 5

<=> ax^2 + (2 -8a)*x + 16a -6 = 0   #

Diskriminate ist

D =  (2-8a)^2 - 4*a*(16a-6) = 4 -8a

# hat genau eine Lösung für  4-8a = 0

also für a=0,5.

c) L = √ (  (5-1)^2 + ( 0-2)^2  )

Answer 2

b) Da  B (0/5) auf f₁(x)=-0,5x²-2x+5 muss  A (2/1) auf f₂(x)=a×(x-4)²-1 liegen. Also setze ich A in f₂ ein und erhalte:

1=a(2 - 4)² - 1  und daraus a=1/2.