Funktion f(x)= (a+bx) /x² nimmt für x=1 den Extremweert 2 an. Steckbriefaufgabe

Question

Welche Funktion mit f(x)= (a+bx) /x² nimmt für x=1 den Extremwert 2 an?

Handelt es sich um Minimum oder Maximum?

Gesucht ist a und b.

f´(1)= 0 -a+b=0

f(1)= 2 2a+b=2

Ich will auch wissen, wie man darauf kommt.

Answer 1

Mir scheint das entweder deine Funktion oder deine Bedingungen nicht ganz richtig sind. Ich übernehme mal deine Funktion außer das ich den Zähler klammer. Anders hätte das ja keinen Sinn, weil man dann gleich x kürzen könnte.

f(x) = (a + b·x)/x^2 = a/x^2 + b/x
f'(x) = - 2·a/x^3 - b/x^2
Der Funktionswert an der Stelle 1 soll 2 sein.

f(1) = 2
a/1^2 + b/1 = 2
a + b = 2

An der Stelle 1 soll ein Extremum sein.

f'(1) = 0
- 2·a/1^3 - b/1^2 = 0
- 2·a - b = 0

Die Lösung des LGS ist laut Additionsverfahren a = -2 ∧ b = 4

Damit lautet die Funktion

f(x) = (-2 + 4·x)/x^2 = -2/x^2 + 4/x = 4/x - 2/x^2

Answer 2

\(f(x)= \frac{a+bx}{x^2}\)

\(f'(x)= \frac{bx^2-(a+bx)2x}{x^4} \) Kürzen:
\(f'(x)= \frac{bx-(a+bx)2}{x^4}=\frac{-bx-2a}{x^3} \)
\(\frac{-bx-2a}{x^3} =0\)
\(x=-\frac{2a}{b}\)          \(f(-\frac{2a}{b})=\frac{a+b(-\frac{2a}{b})}{(-\frac{2a}{b})^2}=-\frac{a^3}{4b^2}\)
Extremwert 2 :
1)\(a^3=-8b^2\)
nimmt für \(x=1\)
2.) \(1=-\frac{2a}{b}\)  →  \(b=-2a\)  in 1.)  \(a^3=-8 \cdot 4a^2\)→
\(a=-32\)  in 1.)  \((-32)^3=-8b^2\)
\(b^2=4096\)
\(b_1=64\)      →    \(64=-2a\)          \(a_1=-32\)
\(b_2=-64\)                                  \(a_2=32\)
\(f_1(x)= \frac{-32+64x}{x^2} \)
\(f_1(1)= \frac{-32+64}{1}=32 \) 

Da der Extremwert bei \(y=2\) liegen soll:

\(g_1(x)= \frac{-32+64x}{x^2}-30 \)

......

\(\red{f_2(x)= \frac{32-64x}{x^2}}\)

\(f_2(1)= \frac{32-64}{x^2}=-32 \) 

Da der Extremwert bei \(y=2\) liegen soll:

\(\green{h(x)=\frac{32-64x}{x^2}+34}\)