Kosten-, Umsatz-, Gewinnfunktion

Question

Aufgabe:

Einem Unternehmen entstehen bei der Produktion von x Geräten die Gesamtkosten K ,die

 mit K(x)= 0,044x^3 -2x^2 +50x +600 (0 ≤ x ≤ 50 ,K(x) in Euro) beschrieben werden können. Der Preis pro Gerät beträgt 60 Euro ,sodass für die Umsatzfunktion U gilt : U(x) = 60x (U(x) in Euro ).

a) Zeigen Sie ,dass K keine Extremstellen besitzt , und erläutern Sie ,warum dies für eine Kostenfunktion typisch ist .

b) Bestimmen Sie anhand der Gewinnfunktion G mit G(x)=U(x)-K(x),die Stückzahl ,für die der Gewinn am größten ist.

Wie groß ist er für diese Stückzahl ?

Problem/Ansatz:

Ich lerne für meine Matheklassenarbeit und bin auf diese Aufgabe in meinem Mathebuch gestoßen, deswegen wollte ich aus Eigeninteresse fragen, wie ich diese Aufgaben lösen muss ?

Answer 1

a)

Die Ableitungsfunktion \(K'(x)\) besitzt keine Nullstellen. Die notwende Bedingung kann nicht erfüllt werden; deshalb gibt es keine Extremstellen.

Erklärung von GoTo (vgl. hier)

b)

Wann ist \(G(x)=U(x)-K(x)=-0.044x^3+2x^2+10x-600\) maximal?

(1) Ableitungsfunktion bilden und deren Nullstellen berechnen$$G'(x)=-0.132x^2+4x+10=0 \quad \Longrightarrow x_{1}=32.625 \quad \vee \quad x_2=-2.322$$ Die Lösung \(x_2\) entfällt im Sachzusammenhang.

(2) Hinreichendes Kriterium$$G''(32.625)=-4.613<0 \quad \Longrightarrow \text{Max.}$$

Answer 2

Hallo Littlemix,

a)

Die Ableitung K'(x) = 0.132·x^2 - 4·x + 50  hat keine Nullstellen (pq-Formel), ist also als nach oben geöffnete Parabel immer positiv. K(x) ist also streng monoton steigend und hat lediglich Randextrema bei  x=0 und x= 50  [ 0 ≤ x ≤ 50 ! ]

Das ist für eine Kostenfunktion typisch, weil die Kosten mit wachsender Produktionsmenge normalerweise steigen.

b)

G(x) = 60·x - (0.044·x^3 - 2·x^2 + 50·x + 600)  =  - 0.044·x^3 + 2·x^2 + 10·x - 600

Die Ableitung G '(x) = - 0.132·x^2 + 4·x + 10  ergibt mit der pq-Formel (abc-Formel)

      die positive Nullstelle  x_max  ≈ 32,625

      mit dem maximalen Gewinn  G(x_max) = 327,10 €

Nachtrag:

Gruß Wolfgang