Wie ist das Vektorfeld einer Potentialfunktion auf R4 definiert?

Question

Die Frage steht oben.

Konnte für R2 ist die

rotV(x,y)=∇ V_2/∇ x - ∇ V_1/∇y

(∇=Ableitung)

R3 ist

rotV(x,y,z)= ... ist es auch klar..

Aber wie ist die Rotarion von R4 definiert? Und welche Grenzen muss ich im späteren Verlauf für meinen Wegintegral nehmen?

Answer 1

Halloy,

wie ist das Vektorfeld einer Potenzial Funktion definiert auf dem R^4

Wenn das heißen soll, das du ein Potential gegeben hast und daraus das Kraftfeld berechnen willst, dann ist es einfach:

F=-grad(V)

Comments

Nein so einfach denke ich nicht..

Denn in R3 ist die Rotarion def als

Rot V := ∇y V_z - ∇z V_y

              ∇z V_x - ∇x V_z

              ∇x V_y - ∇y V_x

Und mein Vektorfeld

Ist zb. V(x,y,z)= ( xy+z , z^2 , xz)

Wenn die rot V=(0,0,0) ist dann ist es rotationsfrei ubf ich kann wie üblich die potentialfktn berechnen. Bei meinem bsp. ist es allerdings nicht der Fall. Ich suche nach einem allgm. Formel für R4

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Die Rotation eines Vektorfeldes ist nicht das Potential. Da musst du dich genauer ausdrücken. Um zu überprüfen ob, ob ein Vektorfeld ein Potential hat, kann man schauen, ob dessen Rotation =0 ist. Das ist aber nur im R^3 definiert! Im R^n gibt es die Integrabilitätsbedingungen:

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Gradientenfeld

Im R^4 gibt es auch kein Kreuzprodukt aus 2 Vektoren, daher ist die Rotation da auch nicht definiert.