Aufgabe Potentialfunktion zeigen

Question

$F: \widetilde{D} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, F(x, y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\left(\begin{array}{c} -y \\ x \end{array}\right)$
auf $\widetilde{D}:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: y>0\right\}$. Zeige, dass
$\phi: \widetilde{D} \rightarrow \mathbb{R}, \phi(x, y)=-\arctan \left(\frac{x}{y}\right)$
eine Potentialfunktion von $F$ auf $\widetilde{D}$ ist.
Erinnerung: $\arctan ^{\prime}(t)=\frac{1}{1+t^{2}}$ für $t \in \mathbb{R}$.

Wäre wer so freundlich und könnte mir zeigen , wie man die obige Aufgabe löst? Danke

Answer 1

Aloha :)

Der Gradient der Potentialfunktion $\varphi$ muss gleich dem Vektorfeld $\vec F$ sein.

Wir prüfen daher die partiellen Ableitungen von $\varphi(x;y)$.

Verwende dazu den Tipp und beachte die innere Ableitung:

$$\frac{\partial\varphi}{\partial x}=-\frac{\partial}{\partial x}\arctan\left(\frac xy\right)=-\underbrace{\frac{1}{1+\left(\frac xy\right)^2}}_{\text{äußere A.}}\cdot\underbrace{\frac1y}_{\text{innere A.}}=-\frac{1}{y+\frac{x^2}{y}}=-\frac{y}{y^2+x^2}=F_x\quad\checkmark$$

$$\frac{\partial\varphi}{\partial y}=-\frac{\partial}{\partial y}\arctan\left(\frac xy\right)=-\underbrace{\frac{1}{1+\left(\frac xy\right)^2}}_{\text{äußere A.}}\cdot\underbrace{\left(-\frac{x}{y^2}\right)}_{\text{innere A.}}=\frac{x}{y^2+x^2}=F_y\quad\checkmark$$