Aufgabe Potentialfunktion zeigen

Question

\( F: \widetilde{D} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, F(x, y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\left(\begin{array}{c} -y \\ x \end{array}\right) \)
auf \( \widetilde{D}:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: y>0\right\} \). Zeige, dass
\( \phi: \widetilde{D} \rightarrow \mathbb{R}, \phi(x, y)=-\arctan \left(\frac{x}{y}\right) \)
eine Potentialfunktion von \( F \) auf \( \widetilde{D} \) ist.
Erinnerung: \( \arctan ^{\prime}(t)=\frac{1}{1+t^{2}} \) für \( t \in \mathbb{R} \).

Wäre wer so freundlich und könnte mir zeigen , wie man die obige Aufgabe löst? Danke

Answer 1

Aloha :)

Der Gradient der Potentialfunktion \(\varphi\) muss gleich dem Vektorfeld \(\vec F\) sein.

Wir prüfen daher die partiellen Ableitungen von \(\varphi(x;y)\).

Verwende dazu den Tipp und beachte die innere Ableitung:

$$\frac{\partial\varphi}{\partial x}=-\frac{\partial}{\partial x}\arctan\left(\frac xy\right)=-\underbrace{\frac{1}{1+\left(\frac xy\right)^2}}_{\text{äußere A.}}\cdot\underbrace{\frac1y}_{\text{innere A.}}=-\frac{1}{y+\frac{x^2}{y}}=-\frac{y}{y^2+x^2}=F_x\quad\checkmark$$

$$\frac{\partial\varphi}{\partial y}=-\frac{\partial}{\partial y}\arctan\left(\frac xy\right)=-\underbrace{\frac{1}{1+\left(\frac xy\right)^2}}_{\text{äußere A.}}\cdot\underbrace{\left(-\frac{x}{y^2}\right)}_{\text{innere A.}}=\frac{x}{y^2+x^2}=F_y\quad\checkmark$$