Wahr/falsch-Aufgabe: Mengen; total differenzierbare Funktion auf kompakter Teilmenge integrierbar?

Question

Aufgabe:

Welche der folgenden Aussagen ist immer wahr, welche im Allgemeinen falsch:
(i) Eine Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) sei auf den Mengen \( A_{1}, A_{2}, A_{3} \subset \mathbb{R}^{3} \) stetig. Dann gilt

\( \begin{aligned} \iint_{A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y & =\iint f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\iint_{A_{2}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\iint f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\ & -\iint_{A_{1}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y-\iint_{A_{3}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y-\iint_{A_{1} \cap A_{3}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\ & +\iint_{A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y . \end{aligned} \)

(ii) Sei \( D \subset \mathbb{R}^{3} \) offen und \( h: D \rightarrow \mathbb{R} \) total differenzierbar. Dann ist \( h \) auf jeder kompakten Teilmenge \( B \subset D \) integrierbar.

(iii) Sei \( \varphi: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) ein Potential eines Vektorfelds \( \vec{v}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) und sei \( \vec{\gamma}:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) eine stetig differenzierbare, geschlossene Kurve, d.h. \( \vec{\gamma}(a)=\vec{\gamma}(b) \). Dann gilt \( \int \limits_{\vec{\gamma}} \varphi \mathrm{d} s=0 \).

(iv) Sei \( g: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} \) stetig, dann gilt
\( \int \limits_{0}^{1}\left(\int \limits_{-x}^{1}\left(\int \limits_{0}^{y} g(x, y, z) \mathrm{d} z\right) \mathrm{d} y\right) \mathrm{d} x=\int \limits_{0}^{1}\left(\int \limits_{0}^{y}\left(\int \limits_{-x}^{1} g(x, y, z) \mathrm{d} y\right) \mathrm{d} z\right) \mathrm{d} x \)

(v) Sei \( A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x \geq 0, y \leq 4, y \geq x^{2}\right\} \) und \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) gegeben durch \( f(x, y)=x \mathrm{e}^{y^{2}} \). Dann lässt sich das Integral \( \iint_{A} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \) elementar integrieren (d.h., es ist "per Hand möglich"),
wenn man zuerst nach integriert.
\( x \) \( y \)
keine der obigen Antworten

Problem/Ansatz:

Hallo :)

Ich weiß leider einfach nicht, wie ich diese Aufgabe lösen soll. Vielleicht kann mir jemand helfen. Vielen Dank an Alle, die mir helfen können! Die ersten vier weißen Felder soll ich mit wahr oder falsch beantworten und das fünfte Feld ist ja ausgeklappt.

Comments

Bei (v) stimmt etwas nicht am Text.

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Hier ist die Aufgabe in besserer Auflösung:

Text erkannt:

Welche der folgenden Aussagen ist immer wahr, welche im Allgemeinen falsch:
(i) Eine Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) sei auf den Mengen \( A_{1}, A_{2}, A_{3} \subset \mathbb{R}^{3} \) stetig. Dann gilt
\( \begin{aligned} \iint_{A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y & =\iint_{A_{1}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\iint_{A_{2}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\iint_{A_{3}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\ & -\iint_{A_{1} \cap A_{2}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y-\iint_{A_{1} \cap A_{3}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y-\iiint_{A_{2} \cap A_{3}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\ & +\iint_{A_{1} \cap A_{2} \cap A_{3}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y . \end{aligned} \)
(ii) Sei \( D \subset \mathbb{R}^{3} \) offen und \( h: D \rightarrow \mathbb{R} \) total differenzierbar. Dann ist \( h \) auf jeder kompakten
Teilmenge \( B \subset D \) integrierbar.
(iii) Sei \( \varphi: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) ein Potential eines Vektorfelds \( \vec{v}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) und sei \( \vec{\gamma}:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) eine stetig differenzierbare, geschlossene Kurve, d.h. \( \vec{\gamma}(a)=\vec{\gamma}(b) \). Dann gilt \( \int \limits_{\vec{\gamma}} \varphi \mathrm{d} s=0 \).
(iv) Sei \( g: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R} \) stetig, dann gilt
\( \int \limits_{0}^{1}\left(\int \limits_{-x}^{1}\left(\int \limits_{0}^{y} g(x, y, z) \mathrm{d} z\right) \mathrm{d} y\right) \mathrm{d} x=\int \limits_{0}^{1}\left(\int \limits_{0}^{y}\left(\int \limits_{-x}^{1} g(x, y, z) \mathrm{d} y\right) \mathrm{d} z\right) \mathrm{d} x . \)
(v) Sei \( A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x \geq 0, y \leq 4, y \geq x^{2}\right\} \) und \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) gegeben durch \( f(x, y)=x \mathrm{e}^{y^{2}} \). Dann lässt sich das Integral \( \iint_{A} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \) elementar integrieren (d.h., es ist "per Hand möglich"), wenn man zuerst nach integriert.
\( x \)
\( y \)
keine der obigen Antworten