Aussagen zur Vektorfelder wahr oder falsch?

Question

Hallo :)

Ich weiß leider einfach nicht, wie ich diese Hausaufgabe lösen soll. Vielleicht kann mir jemand helfen. Die Aufgabe lautet:

Text erkannt:

Welche der folgenden Aussagen sind immer wahr bzw. im Allgemeinen falsch?
i) Sei \( \vec{v}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) ein stetig partiell differenzierbares Vektorfeld. \( \vec{v} \) hat ein Potential, genau dann wenn rot \( \vec{v}=\overrightarrow{0} \) gilt.
ii) Sei \( G \subset \mathbb{R}^{3} \) offen. Ein stetig partiell differenzierbares Vektorfeld \( \vec{v}: G \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) hat ein Vektorpotential, genau dann wenn div \( \vec{v}=0 \) gilt.
iii) Es gibt ein Vektorfeld \( \vec{v}: G \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) mit \( \vec{v} \neq \overrightarrow{0}, G \subset \mathbb{R}^{3} \), das sowohl ein Potenzial, als auch ein Vektorpotenzial besitzt.

Vielen Dank an Alle, die mir helfen können!

Answer 1

Aloha :)

zu 1) wahr... Merke: \(\operatorname{rot}\operatorname{grad}(\cdots)=\vec 0\)

zu 2) wahr... Merke: \(\operatorname{div}\operatorname{rot}(\cdots)=0\)

zu 3) falsch

Wenn \(\vec v\) ein Potential \(\varphi\) hat, gibt es eine Darstellung \(\vec v=\operatorname{grad}(\phi)\).

Dann ist aber das Vektorpotential \(\vec A=\operatorname{rot}(\vec v)=\vec0\).

Es gibt daher kein solches \(\vec v\ne0\).