Zeigen, dass V kein ℝ-Vektorraum ist.

Question

Aufgabe:

$$V=\mathbb R ^2, V= \left\{ \begin{pmatrix} a\\ b \end{pmatrix}  | a,b \in \mathbb R \right\}$$

Mit den Operationen:

$$\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a+c \\ b+d \end{pmatrix} $$

$$k \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} ka \\ b \end{pmatrix}$$

Zeige das V kein ℝ-Vektorraum ist.

Problem/Ansatz:

Bin mir da noch unsicher ob ich das richtig mache.

Für Distributivität:

$$(k_1+k_2) \cdot v = (k_1 \cdot v) + (k_2 \cdot v)$$

$$(k_1+k_2) \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} (k_1+k_2) \cdot a \\ b \end{pmatrix} $$

aber

$$(k_1 \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} ) + (k_2 \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} ) =  \begin{pmatrix} k_1 a \\ b  \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} k_2 a \\ b  \end{pmatrix}$$

Und das ist ja nicht definiert oder?

Ich darf ja nur:

$$\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a+c \\ b+d \end{pmatrix} $$

Und wenn ich b ungleich d wähle, dann ist das nicht definiert.

Answer 1

Und das ist ja nicht definiert oder?

Doch das ist definiert:

$$ \begin{pmatrix} k_1 a \\ b  \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} k_2 a \\ b  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k_1 a + k_2 a \\ b + b  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (k_1  + k_2) a \\ 2b  \end{pmatrix}  $$

Zum widerlegen ist ein explizites Beispiele aber vollkommen ausreichend. Also z.B.

$$ (1 + 2) \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} $$

$$ 1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Also gilt das Distributivgesetz nicht und somit kann V kein Vektorraum sein.

Comments

Ja das schaut schon besser aus ;) danke.