Vektoren Parameteraufgabe

Question

Es sind zwei Sektoren gegeben : a(4/4/2) und B(6/0/z).

Wie muss die Koordinate z gewählt werden, damit der Winkel zwischen a und b eine Größe von 45° hat?

Mein Ansatz:

Cos 45°= (24+2z )/ (√36 ×√36 +z²)

^{Wie löse ich die die Wurzel auf, wenn ich es rüber multipliziert habe}?

Answer 1

\(\cos(45°)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)

Somit ergibt sich \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{24+2z}{\sqrt{36}\sqrt{36+z^2}}\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{12+z}{3\sqrt{36+z^2}}\)

Dann die Reziproke bilden:

\(\sqrt{2}=\dfrac{3\sqrt{36+z^2}}{12+z}\)  |* 12+z

\(\Leftrightarrow \sqrt{2}\cdot (12+z)=3\sqrt{36+z^2}\)  | ^2

\(\Leftrightarrow 2 z^2 + 48 z + 288=324+9z^2 \)

\(\Leftrightarrow -7 z^2 + 48 z - 36 = 0\) | pq/abc Formel

\(\longrightarrow z_1=6,\; z_2=\dfrac{6}{7}\)

Comments

Lieber Larry,

müssten die beiden Lösungen nicht eigentlich noch in der Ausgangsgleichung überprüft werden?

Durch das Quadrieren können doch "falsche Lösungen" hinzukommen oder?

Oder kann man das an dieser Stelle ausschließen?

LG

Kombinatrix

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Nein, falsche Lösungen existieren nicht.

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Aber man sollte doch eigentlich nach dem Quadrieren immer überprüfen, da dies keine Äquivalenzumformung ist?

Weshalb in dieser Situation nicht?

Vielen Dank!

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Selbstverständlich hast du Recht. Eine Überprüfung ist immer nötig.

l.s Aussage stimmt nur zufällig, weil sich im Nachhinein (d.h. durch eben diese Überprüfung) beide Lösungen als richtig erweisen.

Was würde er wohl machen, wenn der Winkel nicht 45° sondern  80,40593...° wäre ?

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Warum wählst du genau diesen Winkel?

Und gibt es irgendeine „Regel“, wie die Ausgangsgleichung aufgebaut sein muss, damit die Lösungen beide korrekt sind, sprich keine Scheinlösung durch das Quadrieren hinzukommt?

Merci.

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Und gibt es irgendeine „Regel“, wie die Ausgangsgleichung aufgebaut sein muss, damit die Lösungen beide korrekt sind, sprich keine Scheinlösung durch das Quadrieren hinzukommt?

Wenn die Vorzeichen beider Seiten der Ausgangsgleichung für keine Einsetzung verschieden sein können, braucht man für errechnete Lösungen aus dem Definitionsbereich der Gleichung keine Probe, weil das Quadrieren über ℝ₀⁺ bzw. über ℝ₀^- jeweils eine Äquivalenzumformung ist.

Das ist in der Aufgabe aber nicht der Fall.

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Lieber Wolfgang,

könntest du das nochmal an einem Beispiel deutlich machen? Ich glaube damit komme ich auf die richtige Fährte.

Vielen Dank!

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Müssen nicht beide Seiten der Gleichung das gleiche VZ haben? Die linke und rechte Seite sind ja gleich? Also zumindest wenn es eine Gleichung mit nichtleerer Lösungsmenge ist ?

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Müssen nicht beide Seiten der Gleichung das gleiche VZ haben?

Ja aber als Indiz für eine überflüssig Probe  muss das für alle Einsetzungen aus der Definitionsmenge der Gleichung gelten, nicht nur für die Lösungen.

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Hättest du ein Beispiel einer Wurzelgleichungen, wo das der Fall wäre?

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Hättest du ein Beispiel einer Wurzelgleichungen, wo das der Fall wäre?

√x = 0

Hier gilt die Regel: Eine Wurzel ist Null wenn der Radikand den Wert Null annimmt.

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√(x^2 - 1) = 5          D = ℝ \ ] -1;1[

Beide Seiten sind für Einsetzungen aus D positiv

→   x = - √26 ∨ x = √26    Ohne Probe

Wenn man den Definitionsbereich nicht bestimmt hat, muss man für die berechneten Lösungen allerdings durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung prüfen, ob die durch Quadrieren erhaltenen Lösungen in der Gleichung überhaupt einen Sinn ergeben.

√(x² + 1) = 5

Hier sieht man sofort D = ℝ und beide Seiten der Gleichung sind immer positiv.

Es ist keinerlei Probe erforderlich.

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Aber diese Gleichung wäre doch in jedem Fall nur gut x gleich 0 erfüllt.

Auch wenn ich sie quadriere

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Wolfgang, ich meinte auch eher eine Gleichung, bei der dies nicht der Fall wäre...

Sprich beide Seiten ein unterschiedliches Vorzeichen hätten?

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Ich verstehe nicht, was du mit deinem vorletzten Kommentar meinst.

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Wenn es Einsetzungen für x gibt, für die beide Seiten unterschiedliche Vorzeichen haben, ist nach dem Quadrieren immer eine Probe erforderlich:

3 ≠ -3  in der Ausgangsgleichung

Quadrieren:

9 = 9

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Na du hast oben geschrieben, dass Quadrieren auf R0+ und R0- eine Äquivalenzumformung ist.

Das ist einleuchtend.

Ich frage mich nur, wie so eine Gleichung aussieht, sodass beide Seiten der Gleichung NICHT das gleiche Vorzeichen hätten...

Weil das dann ja die Fälle sind wo man kontrollieren muss?

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Hast du ein Beispiel mit Variablen dafür ?

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√(x - 5) = x - 7  |²

x - 5 = (x - 7)²   ⇔  x = 9 ∨ x = 6

Aber: √(6 - 5) = 6 - 7  ist falsch

              1 ≠ -1

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Sorry hatte Tomaten auf den Augen!!!!

Tausend Dank!

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immer wieder gern :-)

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Doch nochmal:

Schwierigkeiten machen aber nur solche Gleichungen, wo für beliebige aber feste x Werte auf beiden Seiten z.B 3=-3 rauskommt.

Wenn man ausschließen kann, dass unterschiedliche Vorzeichen entstehen, dann kann man auch ausschließen, dass  es zu so einem Fall wie 3=-3 kommt.

Deshalb prüft man das mit den Vorzeichen in der Ausgangsgleichung?

Aber selbst wenn unterschiedliche Vorzeichen möglich sind, bedeutet das ja nicht ZWINGEND, dass Scheinlösungen entstehen oder?

Dann kann man es nur nicht von vornherein ausschließen oder?

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So ist es ######

Answer 2

Cos 45°= 24+2z / √36 ×√36 +z²

ist schon falsch. Da fehlen jede Menge Klammern.

Den Wert für cos 45° sollte man übrigens kennen, ebenso √36.

Und wenn in einer Gleichung eine Variable im Nenner auftaucht, sollte (nach den vorgenommenen Einsetzungen der konkreten Werte von cos 45°und  √36) der erste Rechenbefehl die Multiplikation der gesamten Gleichung mit diesem Nenner sein.